動力学
回転にも運動エネルギーがある、½Iω²
回転運動E ½Iω²、トルクの仕事 W=Mθ(P=Mω)、転がり KE=½mv²(1+β)、エネルギー保存 mgh=½mv²(1+β)、形状別到達速力
回る物体もエネルギーを持ちます — 回転運動エネルギー ½Iω²。トルクのする仕事 W = Mθ がこのエネルギーを変え、転がる物体は並進 ½mv² と回転 ½Iω² を同時に持ちます。
回転にも運動エネルギーがあります — KE = ½ I ω²。直線の ½mv² で質量 m が慣性モーメント I に、速度 v が角速度 ω に変わった同じ形。ω を上げると KE は ω の2乗で増えます。
直線で仕事が W = F d だったように、回転ではトルクが角 θ だけ回してする仕事が W = M θ。θ をドラッグすると仕事が比例して積もり、仕事率は P = M ω。
転がる物体は二つの運動エネルギーを同時に持ちます — 中心の並進 ½mv² と自転の回転 ½Iω²。転がりでは ω = vr なので回転分が ½βmv² になり、総 KE = ½mv²(1+β)。
斜面を転がり下りると位置エネルギー mgh が転がり運動エネルギー ½mv²(1+β) に全部変わります。でも一部が回転に行くので、同じ高さでも滑るより到達速力が遅い。h をドラッグして。
だから同じ高さから出発しても形ごとに到達速力が違います — v = √(2gh(1+β))。β が小さく回転にエネルギーを取られにくい球が最速、輪が最遅。形を選んで比べて。
実際に使うまとめると、回転もエネルギーで解けます。回転運動エネルギーは KE = ½ I ω²、トルクのする仕事は W = M θ、仕事率は P = M ω。転がる物体は並進 ½mv² と回転 ½Iω² を併せ持ち総 KE = ½mv²(1+β)、斜面では mgh = ½mv²(1+β) とエネルギーが保存され到達速力 v = √(2gh(1+β)) — β の小さい球が最速の理由です。ここまでが動力学の全体像。直線運動(位置・速度・加速度、ΣF=ma、仕事・エネルギー・運動量)を学び、その全概念を回転へ一語ずつ移してきました — x→θ, v→ω, a→α, m→I, F→M, p→L, ½mv²→½Iω²。粒子から剛体へ、運動学から運動力学へ、力からエネルギーへ — 同じ法則が姿だけ変えて繰り返すことが要点です。
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