放物運動は水平の等速と垂直の等加速の重ね合わせ
二つの球を同じ高さから同時に出発させます。一つはそっと落とし、一つは横に投げます。時間をドラッグすると驚くことが見えます。横に飛んだ球も、ただ落とした球とまったく同じ高さを通り、同じ瞬間に地面に着くのです。水平にどれだけ速く投げても、落ちる量は同じ。秘密はこれです。放物運動は実は、別々に動く二つの運動が重なったものです。水平には力がないので等速、垂直には重力だけを受けるので等加速。二つの方向は干渉せず独立なので、それぞれ前に学んだ公式をそのまま使い、最後に合わせるだけ。曲線に見える複雑な運動が、実は二本の直線の組み合わせなのです。
時間 t をドラッグして二つの球を同時に動かしてください。左の球はそっと落としたもの、右の球は同じ高さから水平に投げたものです。点線が二つの球の高さを結びますが、どの瞬間も二つの高さはぴったり同じです。横に投げた球がどれだけ遠くへ飛んでも、落ちる量はただ落とした球と同じ。だから二つは同じ瞬間に地面に着きます。水平運動が垂直の落下にまったく口を出さないということです。重力は横にどれだけ速いかを気にせず、ただ下へ引くだけ。この独立が放物運動を解く鍵です。
次は水平方向だけ取り出します。水平には球を押す力も妨げる力もありません(空気抵抗は無視)。力がなければ加速度も 0 なので、水平速度は最後まで変わりません。等速運動です。vx スライダーをドラッグすると、等しい時間間隔で打った跡がいつも同じ間隔で並びます。速く投げれば間隔は広がり、遅ければ狭まりますが、どの場合も間隔は均一です。だから水平位置はただの x = vx·t。時間に正比例する、もっとも単純な運動です。放物線の横軸は、こうして終始同じ速さで流れていきます。
今度は垂直方向だけ見ます。上向きの初速はありますが、重力がずっと下に引くので、垂直はまさに前の講の等加速度運動です。加速度は常に -g。時間 t をドラッグすると、球は最初上がってだんだん遅くなり、頂上で一瞬止まってまた下りてきます。上りと下りが鏡のように対称です。高さは y = vy·t - ½g t²、まさに等加速度の公式そのもの。頂上は垂直速度が 0 になる瞬間で、そこで最高の高さに達します。水平は気にせず、上下だけ見れば、球を真上に投げたのとまったく同じです。
いよいよ二つの運動を合わせます。どの瞬間も水平位置は x = vx·t で一定の歩みで右へ、垂直位置は y = vy·t - ½g t² で上がって下がります。時間 t をドラッグすると、横には一定の歩幅で進み、縦には弧を描き、その二つが合わさった点がなめらかな曲線を飛んでいきます。この曲線こそ放物線です。下の灰色の目盛りは水平の進み、横の灰色の目盛りは垂直の高さを示し、球の位置はいつもその二つの影が出会う場所です。曲線に見えても、新しいものは何一つありません。水平の等速と垂直の等加速、別々に学んだ二つの運動を、同じ時計で同時に回しただけです。
最後に投げる角度を変えてみましょう。発射の速さはそのままにして角度だけスライダーで回すと、同じ力で投げても、どれだけ遠く、どれだけ高く飛ぶかが大きく変わります。角度を上げると高く昇りますが遠くへは届かず、下げると低く這ってやはり届きません。飛距離が最も長くなるのはちょうど真ん中、45度です。そして面白い対称があります。30度と60度のように、45度から同じだけ離れた二つの角度は飛距離が同じです。片方は高くゆったり、もう片方は低く速く飛ぶだけ。最高の高さは角度が急なほど増え続け、真上に投げる90度で最大です。飛距離は R = v0² sin2θg で決まります。