位置 速度 加速度 わかりやすく
一つの粒子が直線の上を動いています。時間を追って見ると、粒子はある区間をすばやく通り過ぎ、ある区間ではほとんど止まったようにゆっくり進みます。同じ 1 秒のあいだに進む距離が、区間ごとに違うからです。位置がどれだけ速く変わるかを表す量が速度で、その速度さえ刻々と変わるなら、速度がどれだけ速く変わるかを別に測る必要があり、それが加速度です。位置から速度へ、速度から加速度へと一段上がるときにすることはいつも同じで、どれだけ速く変わるかを問う微分だけで足ります。逆に変化を積み上げる積分をたどれば、加速度から速度へ、速度から位置へと戻ってこられます。質点の運動学全体が、この二つの操作の上に成り立っています。
スライダーで時間 t（秒）を動かすと、金色の粒子が直線のトラックに沿って動き、いまの位置 x（メートル）が粒子の上と下の表示に示されます。薄い丸は、同じ時間間隔ごとに粒子がいた場所の跡で、両端では詰まり、真ん中ではまばらです。跡が詰まった区間はゆっくり、まばらな区間は速く通ったということなので、この粒子はゆっくり出発し、真ん中でいちばん速く、終わりでまた遅くなることがわかります。時間が決まれば位置がただ一つに決まり、この関係 x(t) が運動をまるごと表しています。次の場面からは、この位置がどれだけ速く変わるかを掘り下げます。
今度は同じ運動をグラフに広げます。横軸は時間 t、縦軸は位置 x で、緑の曲線が前の場面の動きを写したものです。スライダーで時間を動かすと、曲線上の点に青い接線がついて動きます。この接線の傾きが速度 v = dx/dt、つまりごく短い時間に位置がどれだけ変わるかです。曲線が急な真ん中では傾きが大きく速く、平らな両端では傾きが 0 に近く、ほとんど止まっています。速度は位置の高さではなく坂の急さなので、遠くにいてもその瞬間には止まっていることがあり、出発点の近くでも速いことがあります。
同じことを一段上でくり返します。このグラフの縦軸は速度 v で、青い曲線が速度の変化を表し、点についた橙色の接線の傾きが加速度 a = dv/dt、つまり速度がどれだけ速く変わるかです。出発直後は速度が増えている途中なので、傾きは正で、加速度も正です。速度がいちばん大きい山では接線が水平になり、傾きは 0、その瞬間の加速度も 0 です。そのあとは速度が減って傾きが負、つまり減速です。位置を微分すると速度が、速度を同じように微分すると加速度が得られる、という点が要です。
三つのグラフを上下に重ねると、関係がひと目でわかります。上が位置 x、真ん中が速度 v、下が加速度 a で、ボタンで運動の種類を切り替えながら、三本の曲線がどう組み合うかを見比べられます。等速なら位置はまっすぐな坂、速度は水平線、加速度は 0 です。等加速度なら位置は曲がった放物線、速度はまっすぐ上がる直線、加速度は一定の水平線で、加速度が変化する運動では三本とも曲がります。どの場合も、上のグラフの傾きがすぐ下のグラフの高さになり、位置が急な所では速度が大きく、速度が急な所では加速度が大きくなります。
微分で一方向へ進んだなら、逆向きにも戻れるはずです。速度のグラフに戻り、スライダーで時間 t（秒）を動かすと、0 からいままでの曲線の下が青く塗られます。この面積がそのあいだの変位です。速度に時間を掛ければ距離なので、各瞬間の v、つまりそのときどきの速度を時間にわたって積み上げた面積が全体の変位になります。これが積分で、微分が曲線から傾きを取り出したのに対し、積分は曲線の下の面積を集めます。最後まで動かすと、面積は出発点から到着点までの距離とぴったり一致します。だから加速度を積み上げれば速度が、速度を積み上げれば位置がよみがえります。