動力学
一般平面運動は並進と回転の合成
並進+回転の分解、転がり v=rω(d=rθ)、点速度 vP=vO+ω×r(底0・中心v・頂2v)、瞬間回転中心 IC、サイクロイド
転がる車輪は横に滑り(並進)ながら同時に回ります(回転)。剛体の平面運動はすべて、ある点の並進 + その点まわりの回転に分けられ、滑らなければ両者は v=rω で結ばれます。
車輪を転がしてみて。中心は直線的に滑り(並進)、スポークは回る(回転)。その和が一般平面運動 — どの基準点をとっても並進+回転に分かれます。
滑らない転がりでは、地面に触れた rim の弧長が進んだ距離と等しい、だから d = rθ。時間で微分すると中心速度と角速度が v = rω で結ばれます。
車輪上の点の速度は、中心の並進速度に回転速度を足したもの。接点は v − rω = 0 で瞬間静止、中心は v、頂上は v + rω = 2v で最速。
接点は速度 0 なので、その瞬間は車輪全体が接点を軸に回るのと同じ。この点を瞬間回転中心(IC)と呼び、どの点の速度も IC 線に垂直で、大きさは ω×(IC までの距離)。
rim 上の一点を長く追うと、サイクロイドという曲線を描きます。地面に触れるたびに速度 0 になり尖った尖点ができるのは、まさにその点が瞬間回転中心だから。
実際に使うまとめると、剛体の一般平面運動は常に並進 + 回転に分けられます。ある基準点の並進速度にその点まわりの回転(ω×r)を足せば任意の点の速度になります — vP = vO + ω×rP/O。滑らない転がりなら接点の速度が 0 という条件から v = rω が出て、加速度はもう一段微分して a = rα に求心項 rω² を加えて求めます。速度 0 の接点を瞬間回転中心(IC)にとれば、ひとつの回転だけで全点の速度を v = ω·d と読め、だから底 0・中心 v・頂上 2v が一目で分かります。rim 上の点が描くサイクロイドの尖点も同じ話。次の講ではこの vP = vO + ω×r を回転する基準系の相対運動へ一般化し、互いに回る二物体(リンク機構・歯車など)の速度と加速度を解きます。
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