一般平面運動 わかりやすく
転がる車輪は、横へ進みながら（並進）同時にその場で回ります（回転）。剛体が平面の上でする動きは、どれほど複雑に見えても、このように一つの点の並進とその点のまわりの回転に分けられます。車輪がすべらずに転がるなら、二つの動きはばらばらではなく v=rω でしっかり結ばれます。その結果、車輪の上の点はそれぞれ違う速度をもち、地面に触れている点はその瞬間止まっていて、てっぺんがいちばん速くなります。この講では、並進と回転を合わせて、車輪の上のどの点の速度でも読み取る方法を組み立てます。
スライダーで車輪を転がすと、中心は地面と平行な直線に沿って進み、金色のスポークはその中心を軸に回ります。点線の円は出発したときの車輪で、青い名前のついた区間が中心の移った並進、橙色の弧がそのあいだの回転です。この二つを足したものが一般の平面運動で、どの点を基準にとっても、運動はその点の並進とその点のまわりの回転に分かれます。基準点を変えると並進の分は変わりますが、回転の分、つまり角速度はどの点から見ても同じだ、という点が大切です。
すべらずに転がるとき、車輪の縁（rim）で地面に触れて離れた弧の長さは、車輪が転がった距離とちょうど等しくなります。スライダーで車輪を転がすと、地面に塗られた緑の線と車輪のまわりの緑の弧が、いつも同じ長さでいっしょに伸びていきます。だから d = rθ が成り立ち、両辺を時間で微分すると中心の速度と角速度が v = rω で結ばれます。車輪が空回りすれば弧は距離より長くなり、すべりながら引きずられれば短くなるので、この式こそがすべらないという条件です。
車輪の上の一点の速度は、中心の並進速度にその点の回転による速度を足したものです。地面に触れた接点では回転による速度が並進速度とちょうど逆向きなので v − rω = 0 となってその瞬間止まり、中心は並進速度 v だけで進みます。てっぺんでは二つの速度が同じ向きを向いて v + rω = 2v となり、いちばん速くなります。スライダーで速さを変えると三本の矢印がいっしょに伸び縮みしますが、比はいつも 0 対 1 対 2 のままです。自転車の車輪で上のほうのスポークがぼやけて見え、下のほうがはっきり見えるのも、この速さの違いのためです。
地面との接点の速度が 0 なので、その瞬間だけは車輪全体が接点を軸に回っていると考えられます。この点を瞬間回転中心（IC）とよび、車輪の上のどの点の速度も、IC 線、つまりその点と接点を結ぶ点線に垂直で、大きさは ω×（IC までの距離）で決まります。スライダーで角速度を変えると矢印がみないっしょに大きくなり、接点から遠いほど矢印は長く、てっぺんがいちばん速くなります。車輪の運動を並進と回転に分けなくても、一つの回転だけですべての点の速度を一度に読み取れる方法です。
車輪の縁（rim）の上の一点を追いかけ続けると、サイクロイドという曲線が描かれます。スライダーで転がり角 φ を大きくすると、金色の点がアーチ形の道を描いて上がっては下り、その高さが下の表示に出ます。この点は地面に触れるたびに速度が 0 になり、曲線にとがった尖点ができますが、その場所がまさに瞬間回転中心だからです。アーチ一つの幅は、車輪が一回転して転がった距離、つまり車輪の円周に等しくなります。