保存力だけなら運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定

高さ h スライダーをドラッグしてボールを持ち上げてみてください。重力の位置エネルギーは PE = mgh、質量かける重力加速度かける高さです。高く持ち上げるほど位置エネルギーが正比例で大きくなります。これはボールをその高さまで持ち上げるのに重力に逆らってした仕事とちょうど等しい。つまり位置エネルギーは、後で重力が返してくれる仕事を前もって蓄えたものです。基準を一つ決めるだけでよい。高さ 0 をどこに取るかは自由で、大事なのは高さの差です。位置エネルギーは、運動がまだなくても位置だけで持つエネルギー、落ちる潜在力です。

では、ボールを落としながら二つのエネルギーを一緒に見ます。ボールの高さをスライダーで下げてください。位置エネルギーの棒は減り、その分だけ運動エネルギーの棒が伸びます。二つを足した総量の棒は、落ちる間ずっと長さが変わりません。これが力学的エネルギー保存です。KE + PE = 一定。上で持っていた位置エネルギーは一つも消えず、運動エネルギーへ移るだけ。だから出発と到着、二点の高さと速さだけ分かれば、途中を知らなくても解けます。落ちる経路がまっすぐでも曲がっていても、滑り台でも自由落下でも関係ありません。ただし、このきれいな保存は、重力のように仕事が経路によらない保存力だけが働くときに成り立ちます。

最も美しい例が振り子です。スライダーで振り子を左右に振ってみてください。最も高く上がった両端では一瞬止まります。速さが 0 なので運動エネルギーも 0、持っているのは全部位置エネルギーです。そこから解き放たれて下りるにつれ位置エネルギーが運動エネルギーに変わり、一番下を通るとき最も速い。高さが最も低いので位置エネルギーは 0、すべてが運動エネルギーになった瞬間です。そして反対側へ上がりながら運動エネルギーを位置エネルギーへ返します。二つの棒はシーソーのように受け渡しますが、和はいつも同じ。摩擦がなければ振り子は毎回まったく同じ高さまで上がり、果てしなく揺れ続けます。この交換が、保存の最も鮮明な絵です。

保存の法則は、きれいな公式を一つ贈ってくれます。高さ h で静かに放して落とした物体が床に着く瞬間の速さは v = √(2gh) です。mgh = ½mv² で質量 m が両辺から消えるからです。だから重いボールでも軽いボールでも、同じ高さから落とせば同じ速さで着きます。高さ h をドラッグすると速さが高さの平方根で増えます。高さを四倍にして初めて速さが二倍。しかもこの速さは落ちた経路によりません。垂直に落ちても、摩擦のない滑り台でぐるっと回って下りても、失った高さが同じなら着く速さは同じです。ジェットコースターの一番下の速さが最初の落下の高さで決まるのは、これが理由です。

では、現実ではなぜ振り子は結局止まるのでしょう。摩擦や空気抵抗のような非保存力のせいです。ボタンで摩擦をオンオフしてみてください。摩擦がなければ総エネルギーの棒はそのまま保たれ、振り子は毎回同じ高さに戻ります。摩擦をオンにすると、一往復ごとに総エネルギーが少しずつ減ります。失われたエネルギーは消えたのではなく、熱と音に散ったのです。エネルギー自体は常に保存されますが、私たちが使いやすい力学的エネルギー(運動+位置)は非保存力があると減ります。だから非保存力が働くときは KE + PE が一定とは言えず、代わりにその減った量が摩擦のした負の仕事に等しいと見ます。保存力はエネルギーを貸して返しますが、非保存力は道の途中で漏らしてしまいます。