加速度が一定なら v と x は公式に従う
加速度をたった一つの値に固定してみましょう。スライダーで a を決めると、粒子は毎秒同じ量だけ速くなります。1秒ごとに速度が a ずつ積み上がるのです。こうして加速度が変わらない運動を等加速度運動と呼びます。自由落下、滑り台を下りる子ども、一定の強さでブレーキを踏む車、みなここに入ります。加速度が一定という条件ひとつで、前の講で毎回やっていた微分と積分をやり直す必要がなくなります。速度と位置が決まった公式に従うからです。v = v0 + at、x = x0 + v0t + ½at²、そして時間を抜いた v² = v0² + 2a·Δx。これらの公式が等加速度問題のほとんどすべてです。この講では、なぜそうなるのかを一枚ずつ絵で確かめます。
スライダーで加速度 a を変えてみてください。等しい時間間隔で打った粒子の位置と、その瞬間の速度の矢印が一緒に見えます。注目すべきは速度の矢印です。a が正なら、矢印は一区切りごとに同じ量だけ長くなります。1秒に a ずつ、きちんきちんと。これが加速度が一定という言葉の本当の意味です。速度が一定なのではなく、速度が増える量が一定なのです。だから位置の跡は後ろにいくほど開きます。どんどん速くなるからです。a を大きくすると矢印はより急に伸び、粒子ははるかに遠くまで進みます。a を 0 にすると矢印は全部同じになり、それが前の講の等速運動です。
加速度が一定なら、速度は時間に対してまっすぐな直線です。時間 t をドラッグして、速度 v がどう変わるか見てください。出発時の速さ、つまり t=0 での高さが初速度 v0 です。その上に、時間が流れるごとに a ずつ加わります。直線の傾きがまさに a です。式に書くと v = v0 + at。直線だから覚えることもありません。出発点 v0 から毎秒 a ずつ積むだけ。a が正なら右上がり(加速)、負なら右下がり(減速)です。前の講では速度が傾きでしたが、ここではその傾きがずっと同じなので、速度そのものが直線になるのです。
位置は、前の講で見たように速度グラフの下の面積です。等加速度では速度が直線なので、その下は台形になります。時間 t をドラッグして、塗られた面積がどう積み上がるか見てください。この台形を二つに切ると意味がはっきりします。下の長方形は、初速のままで進んだとしたら進んだ距離 v0t です。その上に乗った三角形は、加速のおかげで余分に稼いだ距離 ½at² です。二つを合わせると x = x0 + v0t + ½at²。出発位置 x0 に、等速なら進む距離、さらに加速が足してくれる距離を加えたものです。a が 0 なら三角形は消え、長方形だけが残って x = x0 + v0t、ただの等速になります。
時間が気にならないこともあります。この速さに達するにはどれだけ進めばいいか、あるいはこれだけ進んだら速さはいくらになるか。そんなときは時間を消した公式が便利です。v = v0 + at と x の公式から t を消去すると v² = v0² + 2a·Δx が出ます。グラフで見ると v² は移動距離 Δx に正比例するまっすぐな直線です。Δx をドラッグしてください。出発線の高さは v0²、直線の傾きは 2a です。距離を二倍にすれば v² の増分も二倍。速さそのものではなく、速さの二乗が距離に比例するのが要点です。だから自動車の制動距離は、速さが二倍になると四倍に伸びます。時間を一度も使わずに、速さと距離を直接つなぐ公式です。
等加速度の最も有名な主役は重力です。空気抵抗を無視すれば、落ちるすべての物体は重さに関係なく同じ加速度 g、約 9.8 m/s² で下に引かれます。ボタンで三つの場合を切り替えてください。そっと放す、下に投げる、上に投げる。上を正に取ると、加速度は常に同じ -g です。変わるのは初速度 v0 だけ。だから三つの速度-時間の直線は、出発の高さだけが違い、傾きはすべて同じ平行線です。上に投げた場合、速度が 0 になる瞬間が最高点で、そこでも加速度はやはり -g です。結局、自由落下は a = g の等加速度運動にすぎないので、前の公式がそのまま全部使えます。