軌道の形は全エネルギーの符号が決める
衛星でも彗星でも、その先の行路が円か楕円か、それとも二度と戻らない開いた道かは、たった一つの数が決めます。全エネルギー E = ½mv² − GMm/r です。速さがもたらす運動エネルギー ½mv² は正、重力がもたらす位置エネルギー −GMm/r は負です。この二つの和が負なら閉じた楕円、0 なら境目の放物線、正なら脱出する双曲線です。この講では、エネルギーの井戸、円錐曲線、ヴィス・ヴィヴァの式、有効ポテンシャル、そして表面からの打ち上げまで、五つの場面でエネルギーがどのように軌道の運命を決めるかを見ます。
重力の位置エネルギーは U(r) = −GMm/r です。遠いほど 0 に近づき、近いほど深い井戸のように下へ落ちます。全エネルギー E を水平線として引くと、どの距離 r でも運動エネルギーは KE = E − U(r)、つまり線と曲線の間の高さになります。r スライダーを動かすと、その場所で運動エネルギーと位置エネルギーがどう分かれるかが棒で見えます。E 線が曲線より下に下がった所は KE が負になり、行けない禁止領域です。
では全エネルギー E を 0 をまたいで変えてみましょう。符号一つが軌道の種類をまるごと決めます。E < 0 なら閉じた楕円で戻ってきて、E = 0 なら境目の放物線、E > 0 なら開いた双曲線で二度と戻りません。スライダーを上げると、軌跡が楕円から放物線へ、さらに双曲線へと開いていくのが見え、上の種類名も一緒に変わります。エネルギーの符号こそ軌道の運命です。
同じ全エネルギーを速さの言葉に書き直すと、ヴィス・ヴィヴァの式になります。v² = μ(2/r − 1/a) で μ = GM、a は軌道の半長軸です。セグメントで円(a = r)、楕円(a 固定)、脱出(a → ∞)を選び、r スライダーを動かすと、その場所の速さ v が曲線上の点として読めます。同じ r では脱出速度が円速度の √2 倍になることがすぐ分かります。近いほど速く、遠いほど遅いというケプラー第二法則の感覚とぴったり合います。
角運動量 L が保存されると、動径方向の運動は一つの有効ポテンシャル Veff(r) = −GM/r + L²/(2r²) から読めます。第一項は引き寄せる重力の井戸、第二項は L が大きいほど大きくなる遠心力の壁で、物体が中心へ落ち込むのを防ぎます。L スライダーを上げると壁が育ち、井戸の底が外へ押し出されます。井戸の最小点がまさに円軌道で、エネルギー線が曲線と交わる二点が近点と遠点、つまり軌道の二つの頂点です。
では惑星の表面から直接打ち上げてみましょう。打ち上げ速度と角度、二つのスライダーが結果を決めます。円軌道速度より遅いと放物線のように落ちる準軌道飛行、ちょうど円速度で水平なら円軌道、その間でもっと速いと表面を越えて回る楕円軌道です。脱出速度を超えると双曲線で二度と戻りません。スライダーを動かすと軌跡が描かれ、その種類がラベルで付きます。