軌道エネルギー とは
人工衛星でも彗星でも、この先円を描くのか、楕円を描くのか、それとも二度と戻ってこないのかは、たった一つの数で決まります。それが全エネルギー E = ½mv² − GMm/r です。速さに由来する運動エネルギー ½mv² はいつも正で、重力に由来する位置エネルギー −GMm/r はいつも負です。二つの和が負なら閉じ込められて回る楕円、ちょうど 0 ならぎりぎりで抜け出す放物線、正なら去っていく双曲線になります。この講ではエネルギーの井戸から始めて、軌道の種類、活力方程式、有効ポテンシャルを経て、惑星の表面から直接打ち上げる場面まで進みます。
重力の位置エネルギーは U(r) = −GMm/r です。青い曲線がその形で、遠ざかるほど 0 に近づき、近づくほど深い井戸のように落ち込みます。金色の点線は全エネルギー E で、どの距離でも運動エネルギーは KE = E − U(r)、つまり点線と曲線のあいだの高さになります。距離 r のスライダーを動かすと、その位置で橙色の棒が位置エネルギーの深さを、緑の棒が運動エネルギーを示します。曲線が点線より上に出ている所では運動エネルギーが負にならなければならないので、物体はその距離まで行けず、下の表示に「禁止領域」と出ます。
今度はエネルギーのスライダーを 0 の上下に動かします。すると、エネルギーの符号一つで軌道の種類がまるごと入れ替わります。E < 0 なら戻ってくる閉じた楕円、E = 0 ならちょうど境目の放物線、E > 0 なら二度と戻らない開いた双曲線です。スライダーを上げるほど、中心の質量 M を焦点とする軌跡が楕円から放物線へ、さらに双曲線へと開いていき、図の下には今の種類の名前と離心率 e が並んで表示されます。右側の小さな点は、軌道が中心にいちばん近づく近点です。
同じエネルギーの関係を速さで書き直すと、活力方程式 v² = μ(2/r − 1/a) になります。ここで μ = GM、a は軌道の長半径です。ボタンで円（a = r）、楕円（a 固定）、脱出（a → ∞）のどれかを選ぶと、金色の曲線がその軌道の速さを距離ごとに描き、淡い点線はいつも円軌道の速さを示します。距離 r のスライダーを動かすと、金色の点がその距離での速さを指します。脱出の曲線はどの距離でも円軌道の速さの √2 倍なので点線の上に並んで浮かび、どの曲線も近いほど速いという点でケプラーの第二法則とぴったり重なります。
角運動量 L が保存されるとき、半径方向の運動は一つの有効ポテンシャル Veff(r) = −GM/r + L²/(2r²) で扱えます。第一項は内側へ引き込む重力の井戸、第二項は L が大きいほど高くなる遠心力の壁で、物体が中心まで落ちるのを防ぎます。L のスライダーを大きくすると壁が高くなり、井戸の底は外側へ押し出されながら浅くなります。井戸のいちばん低い金色の点が円軌道で、金色の点線で引いたエネルギーの線が曲線と交わる二つの緑の点が近点と遠点、つまり軌道でいちばん近い点といちばん遠い点です。
今度は惑星の表面から直接打ち上げます。結果を決めるのは、打ち上げの速さと角度の二つのスライダーです。水平に打ち出して円軌道の速さに届かなければ、軌跡は地面に戻ってくるサブオービタル飛行になり、円軌道の速さにぴったり合えば表面をかすめる円軌道になります。それより速ければ表面から離れて戻ってくる楕円軌道、脱出速度を超えれば双曲線を描いて去っていきます。角度をつけて斜めに打ち出すと、脱出速度に届かない限り、軌跡は必ずもう一度地面と交わり、サブオービタル飛行で終わります。