天体・軌道力学

惑星は楕円の上で等しい面積を掃く

惑星は太陽を一つの焦点とする楕円を描く。等しい時間に等しい面積を掃くので、近日点で速くなる。周期と長半径は T² ∝ a³ で結ばれる。

ケプラーは火星の位置を何年分も見つめた末に、円をあきらめて楕円にたどり着きました。三つの法則が軌道の形と速さと周期を一枚の絵に結びます。

第一法則：軌道は楕円で、太陽はその二つの焦点の一方にある。離心率 e が 0 なら完全な円、大きくなるほど細長くなる。太陽に最も近い点が近日点 r = a(1−e)、最も遠い点が遠日点 r = a(1+e) だ。

第二法則：太陽と惑星を結ぶ線は、等しい時間に等しい面積を掃く。だから近日点の近くでは速く、遠日点の近くでは遅く動く。この面積の規則は、角運動量が保存されるという言葉とちょうど同じだ。

第三法則：周期の二乗は長半径の三乗に比例する。T² = a³（T は年、a は天文単位）と書けば、遠くを回る惑星ほど一周にずっと長くかかることを意味する。

等面積の法則を速度として読み替えると、太陽に近いほど速い。近日点と遠日点の速さの比は (1+e)/(1−e) だ。位置と速さを結ぶのが、次の講で扱うビスビバ式 v² = μ(2/r − 1/a) である。

今度は三つの法則を一画面で見よう。惑星が楕円を回る間、太陽から伸びる扇形は一定の速さで埋まっていく。周期の何パーセントが過ぎたかと、面積の何パーセントを掃いたかは、つねに一致する。

実際に使う離心率がわかれば近日点と遠日点の距離がすぐ出て（r = a(1∓e)）、長半径だけで周期が T = a¹.5 と決まる。等面積の法則のおかげで、軌道のどこでも相対的な速さを (1+e)/(1−e) の比で見積もれる。