万有引力の法則 わかりやすく
枝から落ちるリンゴも、地球のまわりを回る月も、同じ一つの法則に従っています。二つの物体が引き合う力は質量の積に比例し、距離の二乗に反比例します。式で書けば F = GMm/r² です。距離が二倍になれば、力は四分の一になります。では、月はなぜ地球に落ちてこないのでしょうか。月も実はずっと落ち続けているのですが、横向きにとても速く動いているので、落ちる分だけ地球をよけて通り過ぎてしまうのです。
中央の金色の円が質量 M で、そのまわりの点線の輪に並ぶ八本の矢印は、その位置に置いた物体が受ける重力の向きと大きさを表します。矢印はすべて中心を向き、長さが力の大きさです。スライダーで距離 r を大きくすると、輪が広がると同時に、矢印は距離の二乗に応じて短くなります。距離が二倍なら力は 1/4、三倍なら 1/9 です。少し離れるだけで引力が急に弱まることが、目で見てわかります。
スライダーで右の金色の物体の質量 m₂ を大きくしても、二つの物体が互いに及ぼし合う力はいつも同じ大きさです。下の表示の F は、両方に共通するその一つの値です。変わるのは加速度のほうです。加速度は受けた力を自分の質量で割ったものなので、質量が一定の左の小さな物体 m₁ では緑の矢印 a₁ が m₂ に比例して伸び、右の物体の橙色の矢印 a₂ は長さが変わりません。リンゴと地球は同じ力で引き合っているのに、目に見えて動くのがリンゴのほうなのはこのためです。
円軌道とは、落ちる運動と横へそれる運動がちょうど釣り合った状態です。スライダーは点線の円の上の出発点から物体を横向きに打ち出す速さを決め、図にはその後に物体がたどる道筋が描かれます。速さがちょうど v = √(GM/r) のとき、道筋は点線の円と重なります。それより遅いと円の内側に入り込む楕円になり、ずっと遅いと中心の天体にぶつかります。逆に速いと外側に伸びた楕円になり、ある境目を越えたところで二度と戻ってこない脱出軌道に変わります。
はかりが示す体重は、その高さでの重力加速度 g に体の質量を掛けた値です。高度のスライダーを上げると g = GM/r² が小さくなり、金色の棒が低くなるのと一緒に、点線の g の線も下がります。国際宇宙ステーションのはかりが 0 を指すのは、重力がなくなったからではありません。ステーションも宇宙飛行士もそろって自由落下しているので、足がはかりを押さないだけです。「自由落下」に切り替えると棒は底まで落ちますが、点線の g の線はその場に残ります。
地球のような球形の天体がつくる重力は、外から見ると、すべての質量が中心の一点に集まっているときとまったく同じです。これを球殻定理といいます。グラフには点質量と一様な球の重力の曲線が両方描かれていて、ボタンで選んだほうが金色の実線、もう一方が淡い点線になります。縦の点線 R より外では二本の曲線が一本に重なり、内側でだけ分かれます。球の内部に入ると外側の殻からの引力が打ち消し合うため、g は中心に向かってまっすぐ減っていきますが、点質量のほうは近づくほど限りなく大きくなります。惑星を一つの点として計算してよいのはこのためです。