ホーマン遷移軌道 わかりやすく
低い円軌道を回る宇宙船を、より高い円軌道へ移したいとします。エンジンを噴かし続けてらせんを描きながら上がる方法もありますが、燃料をいちばん節約できるのは、二つの円にそれぞれ一点で接する一本の楕円に乗っていく方法です。内側の円で一度加速してその楕円に乗り、半周を慣性で進んで外側の円に届いた瞬間にもう一度加速して、その軌道に落ち着きます。このように二回の噴射で軌道を乗り換える方法をホーマン遷移といいます。この講では軌道から完全に抜け出す脱出速度から始めて、遷移楕円をつくり、燃料の計算まで進みます。
軌道を乗り換える前に、そもそも抜け出すにはどれだけの速さが要るのかを押さえておきます。半径 r の円軌道の速さは vcirc = √(GM/r) で、点線の円上の白い点からこれより速く打ち出すと、軌道はだんだん外へ伸びた楕円になります。そしてちょうど vesc = √(2GM/r) に達した瞬間、楕円は閉じきれずに放物線へと開きます。この値が脱出速度で、二つの間には vesc = √2 · vcirc という簡単な関係があります。スライダーで速さを上げると、円軌道の速さの √2 倍で軌跡の名前が「脱出の境目」に変わり、その先は双曲線です。
次に遷移楕円を自分でつくります。内側の円（半径 r₁）に近点が、外側の円（半径 r₂）に遠点が接する楕円を一本描けばよく、その長半径は a = (r₁ + r₂) / 2 で、楕円上のどこの速さも活力方程式 v = √(GM(2/r − 1/a)) で求まります。近点で円軌道の速さより余分に出さなければならない分が緑の点の Δv₁、遠点で外側の円軌道に合わせるのに要る分が橙色の点の Δv₂ です。スライダーで r₂ を大きくすると、金色の楕円が二つの円に接するように描き直され、二つの噴射量とその合計がいっしょに変わります。外側の円が遠ざかるほど Δv₁ は大きくなりますが、Δv₂ はある所から逆に小さくなっていきます。
二回の噴射のあいだ、宇宙船はエンジンを止めてただ滑るように進みます。近点で一度 Δv₁ を与えて楕円に乗ったあとは、半周を回るあいだ何もせず、慣性だけで進みます。再生を押すと白い点が金色の楕円をたどり、ケプラーの法則のとおり、近点の近くでは速く、遠点に近づくほど遅くなります。緑と橙色の点は噴射の瞬間に大きくなり、遠点に着いたちょうどそのときに Δv₂ を与えると外側の円に落ち着きます。遷移にかかる時間は、この楕円の周期のちょうど半分です。
噴射量をすべて足した値を、その任務の Δv 予算といいます。大事なのは、この予算がそのまま燃料の量に置きかわることです。両者を結ぶのがツィオルコフスキーのロケット方程式 Δv = ve · ln(m₀ / mf) で、ve は排気が噴き出す速さ、m₀ は出発時の質量、mf は推進剤を使い切ったあとの質量です。上の棒は打ち上げ、軌道遷移、捕獲を順に積み上げた予算で、下の棒の金色の部分は出発時の質量のうち推進剤が占める割合です。対数が入っているので必要な質量比は Δv に対して指数的に増え、スライダーで ve を下げると、同じ予算でも推進剤の割合が棒の端まで迫ります。
ホーマン遷移はいつでも最も経済的なのでしょうか。二つの円の半径比 r₂ / r₁ がとても大きいときは、別の道のほうが安くすむことがあります。二重楕円遷移は、目標よりはるかに高い所まで大きく出ていってから戻ってくる経路で、噴射は三回です。遠回りする分だけ損に見えますが、高い所では軌道を変えるのに必要な速度変化が小さいため、かえって得になります。ボタンで二つの方式を切り替えながらスライダーで半径比を大きくすると、約 11.94 を超えたところで「有利」の表示がホーマンから二重楕円へ移ります。図の青い点線は、はるか遠くの遠点まで行って戻る道を縮めて描いたものです。