ホーマン遷移は二回の噴射で軌道を乗り換える

軌道を乗り換える前に、そもそも離れ去るにはどれだけ速ければよいでしょう。半径 r の円軌道を回る速さは v_circ = √(GM/r) です。少しずつ速さを上げると軌道は次第に細長い楕円になり、ちょうど v_esc = √(2GM/r) で楕円が開いて放物線になります。この値が脱出速度で、正確に v_esc = √2 · v_circ です。スライダーで速さを上げると、√2 倍になった瞬間に閉じた軌道が開くのが見えます。

では遷移楕円を自分で作ります。近点が内側の円(半径 r₁)に、遠点が外側の円(半径 r₂)に接する一つの楕円を描けばよいのです。この楕円の長半径は a = (r₁ + r₂) / 2 です。どの地点の速さもビス・ビバの式 v = √(GM(2/r − 1/a)) で分かります。近点で円軌道の速さよりどれだけ多く出すかが Δv₁、遠点から外側の円に収めるのに要る量が Δv₂ です。スライダーで r₂ を大きくすると楕円が描き直され、二つの噴射量が一緒に変わります。

二回の噴射の間、宇宙船はエンジンを切ってただ滑ります。近点で Δv₁ を一度与えると楕円に乗り、その後は半周のあいだ何もせず慣性で流れます。ケプラーの法則どおり近点付近では速く、遠点付近では遅くなります。遠点に触れるまさにその瞬間に Δv₂ を与えると外側の円に落ち着きます。再生を押して、二回の噴射とその間の半周期の滑走を見てみましょう。

噴射量をすべて足した値を、その任務の Δv 予算と呼びます。厄介なのは、この予算がそのまま燃料に翻訳されることです。その橋渡しがツィオルコフスキーのロケット方程式 Δv = v_e · ln(m₀ / m_f) で、v_e は排気が噴き出す速さ、m₀ は出発時の質量、m_f は推進剤を使い切った後の質量です。対数のせいで Δv がわずかに増えても必要な質量比は急激に大きくなります。スライダーで v_e を下げると、同じ予算をまかなうのに燃料の割合がどれほど急に跳ね上がるかが見えます。

ホーマン遷移がいつも最善でしょうか。二つの半径の比 r₂ / r₁ が非常に大きいとき、別の道の方が燃費がよいことがあります。それがバイエリプティック遷移で、目標よりずっと高い所まで一度大きく出てから戻り、合計三回噴射します。遠くまで出るぶん損に見えますが、高い所では軌道を変えるのに要る速度変化が小さく、それが得になります。半径比がおよそ 11.94 を超えると、極端なバイエリプティックがホーマンに勝ちます。トグルで二つの方式を切り替えながら比を大きくし、勝者が入れ替わる点を探しましょう。