中1 素因数分解 わかりやすく

約数・素数・素因数

ある数の約数をもれなく数えたり、2つの数の最大公約数と最小公倍数を求めたりするときは、その数をそれ以上分けられない素数の積に先になおしておくほうが早い。このようになおすことを素因数分解といい、同じ素因数は累乗でまとめて書く。どんな順番でわっても結果が1通りに決まることが、この方法を安心して使えるわけである。下の約数の表では、えらんだ数をわりきる数がどこにあり、そのうちどれが素数かをまずたしかめる。

約数の表には、1からえらんだ数まで（最大48）が1マスずつならんでいる。えらんだ数をわりきる数は青い円で、そのうち素数であるものは金色の円でぬられていて、金色の円がそのまま素因数である。たとえば36をえらぶと、1、2、3、4、6、9、12、18、36がぬられ、そのうち2と3だけが金色になる。素数をえらぶと、1と自分自身の2マスだけがぬられる。

素因数分解の木

約数の個数

1を素数だと思ったり、わる順番によって素因数分解の結果が変わると思ったりしやすい。1は約数が1つしかないので素数でも合成数でもなく、2は素数のうちただ1つの偶数である。72を2からわっても3からわっても、結果は 2³ × 3² で同じになる。わった商が素数になるまでわり算を続けなければならず、とちゅうでやめると合成数が残ってしまう。

最大公約数と最小公倍数へ

例題でたしかめる

素因数分解の問題は、いちばん小さい素数からわって、商が素数になるまでくり返す順番で解く。同じ素数は累乗でまとめ、約数の個数を聞かれたら、それぞれの指数に1をたしてかける。大きい素数から始めても結果は同じだが、わりきれるかどうかをたしかめるのが面倒になる。下の2つの例題も、この順番どおりに進める。

テストのポイント

素因数分解をしておけば、次の章の最大公約数と最小公倍数をすぐにえらび出せる。最大公約数は共通な素因数を指数の小さいほうで、最小公倍数はすべての素因数を指数の大きいほうでえらんでかけたものである。2つのきまりを取りちがえやすいので、上の指数の表のように2つの数の指数を1行ずつならべて書き、列ごとにくらべればよい。