seegongsik
単語帳
中学1年生 (12-13歳)

素因数分解

Prime Factorization

素因数分解とは、ある自然数をこれ以上分けられない素数の積に分解することです。 レゴを一つずつ外していくように、すべての合成数はちょうど一通りだけ素数の積で表せます。 同じ素因数を累乗でまとめ、各指数に1を足して掛ければ、約数の個数もすぐに分かります。 このページでは数を変えながら、因数分解の木が素数まで枝分かれする様子を見てみましょう。

直感導入 — 数を分解しよう
36
🧱 レゴのように分解
①約数:割り切れる数(12の約数:1,2,3,4,6,12)
②素数:1と自身のみ約数(2,3,5,7,11,13...)
③素因数分解:自然数を素数の積に分解
④レゴ=素数、完成品=合成数
素因数分解の木
36
素因数分解の手順
最小の素数(2)から順に割る
2 → 3 → 5 → 7 → ... 商が1になるまで繰り返す
累乗表記
72 = 23 × 32
同じ素因数は累乗でまとめる
📝 縦書き割り算
①左に素因数、右に商
②例:72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3
③左の数を全て掛ける:72 = 2×2×2×3×3 = 2³×3²
④結果は順序に関わらず一意
約数の個数
約数の個数
N = pa × qb → (a+1)(b+1)
各素因数の指数+1を掛ける
例:72の約数
72 = 23 × 32 → (3+1)(2+1) = 12
実際は1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
💡 なぜ(指数+1)を掛けるか
①72 = 2³×3²の約数を作るには
②2を0,1,2,3回使える → 4通り
③3を0,1,2回使える → 3通り
④組合せで4×3=12通り
GCDとLCMへの応用
12
18
GCD(最大公約数)
共通素因数の指数の最小
共通素因数のみ、指数は最小
LCM(最小公倍数)
全素因数の指数の最大
全素因数、指数は最大
🔍 GCD×LCM = a×b
①最大公約数×最小公倍数=二数の積
②GCDが分かればLCMもすぐ求まる
③試験頻出
実際に解いてみる
例題 1
60 を素因数分解せよ。
1
最小の素数 2 で割る:60 ÷ 2 = 30、30 ÷ 2 = 15。
60 = 2 × 2 × 15
2
15 = 3 × 5 なので累乗で整理する。
60 = 2² × 3 × 5
60 = 2² × 3 × 5
小さい素数から順に割り、累乗で整理する。
例題 2
72 の約数の個数を求めよ。
1
まず素因数分解する。
72 = 2³ × 3²
2
各指数に 1 を足して掛ける。
(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
12 個
約数の個数 = (各素因数の指数 + 1) の積。
試験ポイント整理
素因数分解総まとめ
N = p1a_1 × p2a_2 × ...
全合成数は素数の積で一意に表現
中1 校内試験 類型
60 に自然数を掛けてある自然数の 2 乗にしたい。掛けられる最小の自然数は?
3
5
15
30
60
③ 15
1
60 = 2² × 3 × 5 で、2 乗数はすべての素因数の指数が偶数。
60 = 2² × 3 × 5
2
指数が奇数の 3 と 5 を掛けて偶数にする。
60 × (3 × 5) = 900 = 30²、掛ける数 = 15
🎯 試験ポイント
①1は素数でも合成数でもない
②最小素数=2(唯一の偶数素数)
③素因数分解結果は一意
④約数個数=(指数+1)の積
⑤GCD×LCM=a×b
次へ →
最大公約数と最小公倍数
このページがお役に立ったなら支援する