中1 数学›自然数の性質

素因数分解

Prime Factorization

直感導入 — 数を分解しよう

数を選択36

🧱 レゴのように分解

①約数：割り切れる数(12の約数：1,2,3,4,6,12)

②素数：1と自身のみ約数(2,3,5,7,11,13...)

③素因数分解：自然数を素数の積に分解

④レゴ＝素数、完成品＝合成数

素因数分解の木

分解する数36

素因数分解の手順

最小の素数(2)から順に割る

2 → 3 → 5 → 7 → ... 商が1になるまで繰り返す

累乗表記

72 = 2³ × 3²

同じ素因数は累乗でまとめる

📝 縦書き割り算

①左に素因数、右に商

②例：72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3

③左の数を全て掛ける：72 = 2×2×2×3×3 = 2³×3²

④結果は順序に関わらず一意

約数の個数

約数の個数

N = p^a × q^b → (a+1)(b+1)

各素因数の指数+1を掛ける

例：72の約数

72 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12

実際は1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

💡 なぜ(指数+1)を掛けるか

①72 = 2³×3²の約数を作るには

②2を0,1,2,3回使える → 4通り

③3を0,1,2回使える → 3通り

④組合せで4×3=12通り

GCDとLCMへの応用

数A12

数B18

GCD(最大公約数)

共通素因数の指数の最小

共通素因数のみ、指数は最小

LCM(最小公倍数)

全素因数の指数の最大

全素因数、指数は最大

🔍 GCD×LCM = a×b

①最大公約数×最小公倍数＝二数の積

②GCDが分かればLCMもすぐ求まる

③試験頻出

試験ポイント整理

素因数分解総まとめ

N = p₁^a_1 × p₂^a_2 × ...

全合成数は素数の積で一意に表現

🎯 試験ポイント

①1は素数でも合成数でもない

②最小素数＝2(唯一の偶数素数)

③素因数分解結果は一意

④約数個数＝(指数+1)の積

⑤GCD×LCM=a×b