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中学1年生 (12-13歳)

中1 最大公約数と最小公倍数 わかりやすく

GCD & LCM

最大公約数は2つの数をどちらもわりきる数のうちいちばん大きい数で、最小公倍数は2つの数に共通な倍数のうちいちばん小さい数です。 12の倍数と18の倍数を数直線にならべると36、72で重なり、その最初の36が最小公倍数です。 2つの数を素因数分解してベン図に分けて入れると、重なった部分の積が最大公約数、全体の積が最小公倍数になります。 このページでは、2つの数を変えながら重なる倍数と共通の素因数をたしかめ、2つの数の積が最大公約数と最小公倍数の積に等しいわけも見ます。

倍数が重なるところ

12
18
👀 倍数が重なるところ
①2つの数の倍数をそれぞれならべると、両方に出てくる数がある。これが公倍数である
②公倍数のうちいちばん小さい数が最小公倍数である。図で上下がはじめて点線でつながるところである
③公倍数はすべて最小公倍数の倍数である。12と18なら36、72、108のように36ずつ大きくなる
④一方の数がもう一方の数の倍数なら、大きいほうの数がそのまま最小公倍数になる

ベン図で見る素因数

🔍 ベン図に分けて入れる
①12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²である。両方にふくまれる2と3をまん中に置き、のこった2は12の側に、のこった3は18の側に置く
②まん中にある数をかけると最大公約数になる。2 × 3 = 6
③左・まん中・右にある数をすべてかけると最小公倍数になる。2 × 2 × 3 × 3 = 36
④共通な素因数が一つもなければ最大公約数は1で、このような2つの数を互いに素という

最大公約数 × 最小公倍数 = 2つの数の積

2つの数の積との関係
A × B = (最大公約数) × (最小公倍数)
12 × 18 = 216 = 6 × 36
最小公倍数の求め方
(最小公倍数) = A × B ÷ (最大公約数)
最大公約数を先に求めれば、最小公倍数はすぐに計算できる。216 ÷ 6 = 36
💡 なぜ積が等しいのか
①A × Bを素因数で書くと、ベン図のまん中の部分が2回かけられる
②最小公倍数は3つの部分を1回ずつかけたもので、最大公約数はまん中の部分である
③だから最大公約数 × 最小公倍数も、まん中を2回、両側を1回ずつかけたものになり、A × Bと等しくなる
④計算したあとにこの関係で検算すると、まちがいを見つけられる

例題でたしかめる

例題 1
12と18の最大公約数を求めなさい。
1
2つの数を素因数分解する。
12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²
2
共通な素因数2と3を、指数の小さいほうでえらんでかける。
最大公約数 = 2 × 3 = 6
▸ 6
ベン図のまん中にある2と3をかけた値と同じである。
例題 2
12と18の最小公倍数を求めなさい。
1
2つの数を素因数分解する。
12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²
2
すべての素因数を、指数の大きいほうでえらんでかける。
最小公倍数 = 2² × 3² = 36
▸ 36
検算すると12 × 18 = 216、6 × 36 = 216である。数直線でも、はじめて重なるところが36である。

テストのポイント

最大公約数
共通な素因数を、指数の小さいほうでかける
2つの数をどちらもわりきるいちばん大きい数
最小公倍数
すべての素因数を、指数の大きいほうでかける
2つの数の公倍数のうちいちばん小さい数
中1定期テスト形式
縦12 cm、横18 cmの長方形を、同じ大きさの正方形のタイルですきまなくしきつめたい。タイルをできるだけ大きくするとき、タイルの1辺の長さは何cmか。
①2
②3
③6
④9
⑤12
▸ ③ 6
1
タイルの1辺の長さは、12と18をどちらもわりきり、そのうちいちばん大きい数でなければならない。
1辺 = (12と18の最大公約数)
2
最大公約数を求める。
= 2 × 3 = 6 (cm)
🎯 テストのポイント
①等しく分ける、いちばん大きい正方形のタイルなど「できるだけ大きく分ける」問題は最大公約数で解く
②同時に出発してまた出会うときなど「はじめていっしょにそろう」問題は最小公倍数で解く
③3つの数の最大公約数・最小公倍数も同じ方法で求める
④最大公約数が1の2つの数は互いに素で、そのとき最小公倍数は2つの数の積になる
⑤A × B = （最大公約数） × （最小公倍数）で検算する
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最終更新

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