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単語帳
中学1年生 (12-13歳)

最大公約数と最小公倍数

GCD & LCM

最大公約数は2つの数を同時に割り切れる最大の数、最小公倍数は共通の倍数のうち最小の数です。 12と18の倍数を並べると重なる点が公倍数で、素因数分解をベン図に重ねると共通部分が最大公約数になります。 2つの数の積はつねに最大公約数と最小公倍数の積に等しく、一方が分かればもう一方もすぐ求まります。 このページでは2つの数を変えながら、倍数が重なる位置や共通の素因数を目で確かめましょう。

公約数と公倍数
12
18
👀 倍数が重なる場所
①二数の倍数を並べると重なる数がある
②それらが公倍数
③その中で最小が最小公倍数(LCM)
ベン図で見る
🔍 ベン図の秘密
①交わり(共通) → 最大公約数(GCD)
②合併(全体) → 最小公倍数(LCM)
③GCD:共通素因数の最小指数の積
④LCM:全素因数の最大指数の積
GCD×LCMの関係
GCD·LCM関係式
a × b = GCD(a,b) × LCM(a,b)
二数の積=GCD×LCM
LCMの求め方
LCM(a,b) = a × bGCD(a,b)
GCDを先に求めればLCMはすぐ計算可能
💡 計算手順
①二数を素因数分解
②共通素因数の最小指数 → GCD
③全素因数の最大指数 → LCM
④検算:GCD×LCM = a×b
実際に解いてみる
例題 1
2 数 12 と 18 の最大公約数を求めよ。
1
2 数を素因数分解する。
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²
2
共通の素因数の低い指数を掛ける。
最大公約数 = 2 × 3 = 6
6
最大公約数は共通素因数の低い指数を掛ける。
例題 2
2 数 12 と 18 の最小公倍数を求めよ。
1
2 数を素因数分解する。
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²
2
すべての素因数の高い指数を掛ける。
最小公倍数 = 2² × 3² = 36
36
最小公倍数はすべての素因数の高い指数を掛ける。
試験ポイント整理
最大公約数
GCD=共通素因数の最小指数の積
二数を同時に割れる最大の数
最小公倍数
LCM=全素因数の最大指数の積
二数の共通倍数のうち最小
中1 校内試験 類型
横 12 cm、縦 18 cm の長方形を隙間なく覆う、できるだけ大きい正方形タイルの 1 辺の長さは?
2
3
6
9
12
③ 6
1
隙間なく覆う最大の正方形の 1 辺は 2 辺の最大公約数。
1 辺 = 最大公約数(12, 18)
2
最大公約数を求める。
= 2 × 3 = 6 (cm)
🎯 試験ポイント
①GCD:等分・最大正方形
②LCM:同時出発・最小公通単位
③三数も同じ原理
④互いに素:GCD=1
⑤GCD×LCM=a×bで検算
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