小学5年 約数と倍数 わかりやすく
Divisors & Multiples
ある数をわり切ることのできる数をその数の約数といい、ある数を1倍、2倍、3倍、…した数をその数の倍数といいます。
12の約数は1、2、3、4、6、12の六つで終わりますが、12の倍数は12、24、36、…とかぎりなく続きます。
二つの数に共通な約数のうちいちばん大きい数が最大公約数、共通な倍数のうちいちばん小さい数が最小公倍数です。
下で二つの数を選ぶと、二つの図で、共通な約数と、倍数が初めて重なるところを順に確かめられます。
約数と倍数
約数と倍数は、「分ける」と「そろえる」という身近な問題に使われます。あめ12こ、チョコレート18こを、どちらもあまりが出ないように同じ数ずつ分けるには、人数がどちらの数もわり切る数、つまり公約数でなければならず、いちばん多くの人に分けられるのは最大公約数の6人です。反対に、12分ごとに出るバスと18分ごとに出るバスが今いっしょに出たとすると、次にいっしょに出るのは公倍数の時こくで、いちばん早いのは最小公倍数の36分後です。問題が「分ける」話か「またそろう」話かを先に見分けておくと、約数と倍数のどちらを求めればよいかで迷いません。
🍰 同じ数ずつ分けられたら約数
①ケーキ12切れを3人で同じ数ずつ分けると、一人4切れずつになります。12 ÷ 3 = 4でわり切れるので、3は12の約数で、12は3の倍数です
②12をわり切れる数は1、2、3、4、6、12だけなので、12の約数は六つです
③1とその数自身は、どの数でも約数です。1 × 12、2 × 6、3 × 4のように、かけてその数になる組で見つけると、落ちがありません
公約数と最大公約数
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12の約数と18の約数を重ねたベン図青い円には一つ目の数の約数、オレンジの円には二つ目の数の約数が入っていて、二つの円が重なった真ん中に緑で書かれた数が、二つの数の公約数です。最初の12と18なら、左だけに4と12、右だけに9と18が残り、真ん中に1、2、3、6がならびます。いちばん下には、そのうちいちばん大きい6が最大公約数として書かれ、この6が12も18もわり切るいちばん大きい数です。1はどんな数もわり切るので必ず真ん中に入り、一方の数がもう一方の約数のときは、小さいほうの数の約数がすべて真ん中に移ります。
🔍 公約数と最大公約数
①二つの数に共通な約数を公約数といいます。ベン図で二つの円が重なった真ん中にある数です
②公約数のうちいちばん大きい数が最大公約数です
③公約数はどれも最大公約数の約数です。12と18の公約数1、2、3、6は、ちょうど6の約数です
公倍数と最小公倍数
いちばん多いまちがいは、最大公約数と最小公倍数を取りちがえることです。約数はその数より大きくならないので、最大公約数は二つの数の小さいほうより大きくなりません。倍数はその数より小さくならないので、最小公倍数は二つの数の大きいほうより小さくなりません。12と18で、最大公約数が36のように18より大きくなったり、最小公倍数が6のように12より小さくなったりしたら、取りちがえています。答えを出したら、12 × 18 = 216が最大公約数 × 最小公倍数の6 × 36 = 216と等しいかを確かめると、計算まちがいも見つかります。
↔️ 同じ二つの数で倍数を見る
上で選んだ二つの数が、下の数直線にもそのまま使われます。上の列には一つ目の数の倍数、下の列には二つ目の数の倍数が同じ目もりで打たれ、二つの列が初めて同じ値になるところが緑の点線で結ばれます。
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12の倍数と18の倍数を同じ目もりの数直線に表した図🎯 公倍数と最小公倍数
①二つの数に共通な倍数を公倍数といい、そのうちいちばん小さい数が最小公倍数です
②数直線の二つの列が初めて同じ値になる緑の点が最小公倍数です。12と18なら36です
③公倍数はどれも最小公倍数の倍数なので、36、72、108、…と続きます
④二つの数の積は、最大公約数と最小公倍数の積に等しくなります。12 × 18 = 216 = 6 × 36です
まとめ
約数と倍数の関係
A × n = B のとき、AはBの約数、BはAの倍数
3 × 4 = 12なので、3と4は12の約数で、12は3の倍数でも4の倍数でもある
最大公約数と最小公倍数の関係
A × B = (最大公約数) × (最小公倍数)
12 × 18 = 216、6 × 36 = 216
🎯 まとめ
①約数：ある数をわり切る数で、個数にかぎりがある
②倍数：ある数を1倍、2倍、3倍、…した数で、かぎりなく続く
③最大公約数：公約数のうちいちばん大きい数
④最小公倍数：公倍数のうちいちばん小さい数
⑤二つの数の積 = 最大公約数 × 最小公倍数
例題と単元テスト
例題 1
12の約数をすべて求めましょう。
1かけて12になる二つの数の組を考えると、1 × 12、2 × 6、3 × 4です。
2組に出てきた数を小さい順にならべると、1、2、3、4、6、12です。
▸ 1, 2, 3, 4, 6, 12
3 × 4の次の組はもう出てきた4から始まるので、そこで止めてかまいません。
例題 2
12と18の最大公約数を求めましょう。
112の約数は1、2、3、4、6、12、18の約数は1、2、3、6、9、18です。
2両方にある数は1、2、3、6で、いちばん大きいのは6です。
▸ 6
一つ目の図の最初の値がこの問題で、真ん中に1、2、3、6がならび、いちばん下に最大公約数の6が書かれています。
単元テスト
4と6の最小公倍数はいくつですか。
▸ ② 12
14の倍数は4、8、12、16、…、6の倍数は6、12、18、…です。
2両方に初めて出てくる数は12なので、最小公倍数は12です。
最終更新