El equilibrio del cuerpo rígido: las fuerzas suman cero y los momentos también
Una partícula es un punto, así que se quedaba quieta mientras las fuerzas sumaran cero. Pero un cuerpo con tamaño, un cuerpo rígido como un puente, una grúa o una mesa, es otra historia. Aun cuando las fuerzas están equilibradas, si forman un par que tuerce, el cuerpo gira en redondo. Así que para que un cuerpo rígido quede verdaderamente en reposo se necesitan dos cosas a la vez: que no lo empujen de lado ni arriba o abajo, y que no gire en ningún sentido. En ecuaciones, la suma de las fuerzas es cero, y la suma de los momentos también. En un plano estas dos condiciones se resuelven en exactamente tres ecuaciones. Estas tres son la clave para calcular reacciones invisibles, como la fuerza con que empuja hacia arriba el apoyo de un puente. Empieza con el caso en que las fuerzas están equilibradas y aun así el cuerpo gira.
Un cuerpo rígido rectangular siente dos fuerzas de igual tamaño y dirección opuesta. Mira la suma de fuerzas: es exactamente cero. Para una partícula, eso sería equilibrio. Pero pulsa el botón para poner las dos fuerzas fuera de la misma línea. La resultante sigue siendo cero, y sin embargo el cuerpo empieza a girar. Ha aparecido un par y el momento ya no es cero. Las fuerzas están equilibradas, pero la rotación no. Al revés, pon las dos fuerzas en la misma línea de acción y el momento también se vuelve cero, así que el cuerpo se detiene del todo. Por eso un cuerpo rígido lleva una condición más: no solo la suma de fuerzas, sino la suma de momentos debe ser cero antes de estar en equilibrio.
Así que la condición del equilibrio del cuerpo rígido son dos líneas. Primero, la suma vectorial de todas las fuerzas es cero. Esto significa que el cuerpo no se traslada en ninguna dirección. Segundo, la suma de todos los momentos es cero. Esto significa que el cuerpo no gira respecto a ningún punto que elijas. Una carga central P está sostenida por dos apoyos. Ajusta las dos reacciones R1 y R2 para llevar el indicador de fuerza de arriba y el de momento de abajo a cero a la vez. Que solo uno sea cero no basta: si solo la fuerza es cero el cuerpo se inclina en el sitio, y si solo el momento es cero se desliza entero. Cuando ambos son cero, y solo entonces, el cuerpo rígido queda verdaderamente en reposo.
Las dos condiciones escritas como vectores se resuelven, en un plano, en tres ecuaciones escalares por componentes. Que la suma de fuerzas sea cero se parte en horizontal y vertical, dando ΣFx = 0 y ΣFy = 0, y que la suma de momentos sea cero da ΣM = 0. Juntas, exactamente tres ecuaciones. Arrastra el ángulo de la carga inclinada, y las tres reacciones del pasador y el rodillo se mueven para mantener las tres ecuaciones satisfechas. Que haya tres ecuaciones importa mucho: significa que puedes resolver exactamente tres incógnitas. Una partícula tenía dos ecuaciones y dos incógnitas, pero un cuerpo rígido gana una ecuación más para la rotación y puede con tres incógnitas. Puedes tomar cualquier punto como referencia para la ecuación de momentos, pero elegir un punto por el que pasan muchas fuerzas desconocidas hace la ecuación más simple.
Ahora mira el verdadero poder de las tres ecuaciones. Una viga simplemente apoyada descansa sobre dos apoyos, con una carga P colocada no en el medio sino hacia un lado. ¿Cómo de grandes son las fuerzas con que empujan hacia arriba los dos apoyos, las reacciones R1 y R2? Las ecuaciones de equilibrio las dan de una vez. Tomando momentos respecto al apoyo izquierdo e igualando la suma a cero, R1, que pasa por ese punto, desaparece de la ecuación, y R2 se resuelve en un paso. Luego la suma de fuerzas verticales igual a cero da R1. Arrastra la posición de la carga. Cuanto más se acerca P a un apoyo, mayor es la reacción de ese apoyo. Es exactamente la lógica de un balancín: amontona una carga pesada hacia un lado y esa pata carga más.
Por último, fíjate en el límite de que tres ecuaciones solo pueden resolver tres incógnitas. Comparas el número de reacciones desconocidas que crean los apoyos con el número de ecuaciones, tres. Usa los botones para cambiar la disposición de los apoyos. Una viga simplemente apoyada sobre un pasador y un rodillo tiene tres incógnitas, así que se resuelve limpiamente con las tres ecuaciones; esto se llama estáticamente determinado. Pon un pasador en cada extremo y hay cuatro incógnitas, una de más para las ecuaciones. Esto es estáticamente indeterminado: las ecuaciones de equilibrio por sí solas no lo resuelven, y debes considerar también cómo se deforma el material. Al revés, si hay muy pocos apoyos y dos o menos incógnitas, el cuerpo se mueve: una estructura inestable, un mecanismo. Hacer coincidir estos números es justo el punto de partida de un buen diseño estructural.