Momento de inercia de área
El momento de inercia de área, I = ∫ y² dA, mide cuán lejos se reparte el área de una sección respecto a un eje: cada trozo de área se multiplica por el cuadrado de su distancia al eje y se suman todos los productos. Cuanto mayor es este valor, más difícil es flexionar una viga, así que es la propiedad de la sección más usada en resistencia de materiales, donde se estudian la flexión y la flecha de las vigas. El núcleo de esta magnitud es que importa mucho más cuán lejos del eje está el área que cuánta área hay. Esta lección trata el poder de la distancia al cuadrado, la fórmula del rectángulo, el teorema de los ejes paralelos, la orientación de la sección y la idea de diseño de la viga en I.
Qué mide I se ve mejor empezando por un solo trozo de área. La figura de abajo coloca un solo trozo pequeño de área A = 4 cm² a una distancia d del eje, y ese trozo aporta A d² a I. Con el valor inicial d = 3 cm aporta 36 cm⁴; al duplicar la distancia a 6 cm el aporte se cuadruplica hasta 144 cm⁴, y al alejarlo hasta 9 cm llega a 324 cm⁴, nueve veces más. El área no cambia, y la distancia sola lo hace crecer tanto porque entra al cuadrado. Por eso la misma cantidad de material apenas aporta a I cerca del eje y aporta mucho lejos de él. Cuando una viga se flexiona, el material lejano al eje es el que más se alarga o se acorta y el que soporta las mayores fuerzas, de modo que esta ponderación al cuadrado refleja tal cual la manera en que una viga resiste la flexión.
Para una sección rectangular respecto al eje que pasa por su centroide, el cálculo da I = b h312. La figura de abajo cambia el canto h de un rectángulo de ancho b = 4 cm: con el valor inicial h = 5 cm, I vale unos 42 cm⁴, y al duplicar el canto a 10 cm se multiplica por ocho hasta 333 cm⁴. El canto entra al cubo porque una sección más alta tiene más área y, al mismo tiempo, la lleva más lejos del eje. El ancho b, en cambio, entra solo a la primera potencia, así que duplicar el ancho solo duplica I. Esta fórmula explica por qué, con el mismo material añadido, hacer una sección más alta resiste la flexión mucho mejor que hacerla más ancha.
El valor de I respecto a un eje que no pasa por el centroide se obtiene con el teorema de los ejes paralelos. Respecto a un eje paralelo a una distancia d del eje centroidal, I = Ic + A d², y como el término A d² es siempre positivo, el valor Ic respecto al eje centroidal es el menor de todos los ejes paralelos. El cuadrado de la figura de abajo tiene lados de 4 cm, así que A = 16 cm² e Ic vale unos 21 cm⁴; con el valor inicial d = 3 cm, I vale unos 165 cm⁴, y al alejarse hasta d = 6 cm crece hasta unos 597 cm⁴. Al devolver el eje al centroide, d = 0, I vuelve a su valor mínimo, 21 cm⁴. El teorema se usa para hallar I de una sección formada por varias piezas, sumando al Ic de cada pieza su propio A d².
Un mismo rectángulo puede tener valores de I muy distintos según cómo se coloque. La figura de abajo es un rectángulo de 2 cm × 6 cm, con 12 cm² de área en cualquier posición: de canto, sus 6 cm de altura quedan perpendiculares al eje de flexión e I = 36 cm⁴, mientras que tumbado la altura baja a 2 cm e I es solo 4 cm⁴. La diferencia de nueve veces con la misma área viene de que la colocación de canto lleva el área más lejos del eje. Por eso las viguetas de los suelos y los soportes de las estanterías se colocan de canto y no tumbados, y una tabla tumbada se flecta nueve veces más bajo la misma carga. Elegir una sección exige, por tanto, mirar no solo su área sino cómo está colocada esa área respecto a la dirección de flexión.
La viga en I lleva esta idea al extremo. En la figura de abajo la barra maciza mide 4 cm × 6 cm, con 24 cm² de área e I = 72 cm⁴, mientras que la viga en I reparte los mismos 24 cm² en alas superior e inferior de 6 cm de ancho y 1,5 cm de espesor y un alma de 1 cm de espesor, formando una sección de 9 cm de canto con I = 274,5 cm⁴, unas 3,8 veces más. La mayor parte del material ha ido a las alas, lejos del eje, y el alma central queda con el espesor justo para unir las dos alas. Cuando se necesita una rigidez dada, una sección en I la consigue con mucho menos material, y por eso las vigas de los edificios de acero y los carriles de ferrocarril usan esta forma. Un alma demasiado delgada puede torcerse de lado o abollarse, sin embargo, así que el diseño real comprueba también estos fallos locales.