Posición y momento no pueden ser ambos precisos
Cuanto más fijas una partícula a un solo punto, más se difumina su momento. Llama Δx a la dispersión de posición y Δp a la de momento; las dos son un balancín, donde estrujar una estira la otra. Para un paquete de onda gaussiano el producto toca fondo en Δx·Δp = ℏ/2, y nunca puede bajar de ahí. Empezamos con una pequeña joroba en el espacio en la primera figura.
Una partícula con posición precisa es una pequeña joroba en el espacio. Graficamos la densidad de probabilidad del paquete gaussiano |ψ(x)|² y dejamos que el deslizador cambie su ancho σ. Reduce σ y la joroba se vuelve estrecha y alta; auméntalo y se extiende ancha y baja. El área sigue fija en 1, así que cuanto más estrecha, más alta se alza. Si reduces el ancho hacia cero para hacer un punto perfecto, la joroba se dispara sin límite y se vuelve físicamente imposible, lo cual es la primera señal de que la posición no puede estrecharse sin fin.
Una misma σ fija a la vez la dispersión de posición Δx y la de momento Δp. Para un paquete gaussiano Δx es proporcional a σ, mientras que Δp va como 1/σ, es decir ℏ/(2σ). Baja σ con el deslizador y la barra Δx se encoge, pero la barra Δp sube en el mismo factor. El producto de las dos barras, Δx·Δp, siempre se queda en el mismo valor. Que una sola σ fije ambas dispersiones a la vez se debe a que posición y momento son un par nacido de una misma raíz, y es exactamente el mismo compromiso que un sonido más corto teniendo un tono más difuso.
Escrito en una línea, este límite es la relación de Heisenberg Δx·Δp ≥ ℏ/2, donde ℏ = h/2π es la constante de Planck reducida. Dibuja la curva límite Δp = ℏ/(2Δx) y sombrea debajo: el punto puede posarse en la curva o por encima, pero nunca dentro de la banda sombreada de abajo. Un paquete gaussiano se asienta justo sobre esa línea límite. Este límite no se debe a una medición torpe sino a un suelo fijado por la naturaleza, y es justamente la razón por la que un electrón no puede caer del todo al núcleo y por la que los átomos no se colapsan.
Por qué estrujar difumina el momento? Una joroba bien localizada se construye sumando ondas planas de muchos números de onda. Usa el deslizador para subir el número de ondas N. Con solo una tienes una onda que se repite sin fin y sin ubicación; añade más y se refuerzan solo cerca de x = 0, así surge una joroba nítida. Confinarla con fuerza exige otros tantos números de onda. Que los números de onda sumados estén dispersos en un rango amplio significa que el momento también lo está, así que en el mismo instante en que haces una joroba estrecha el desenfoque del momento viene con ella.
La descripción en posición y la descripción en momento son dos lenguajes para la misma partícula, emparejados por una transformada de Fourier. El panel izquierdo es una gaussiana en el espacio de posición, el derecho una gaussiana en el espacio de momento, y sus anchos son recíprocos. Reduce σx y la izquierda se estrecha mientras la derecha se ensancha a σp = 1/(2σx). Este vínculo recíproco es justo por qué afinar un lado difumina el otro. Esta relación de par de Fourier con anchos recíprocos no es exclusiva de lo cuántico sino una propiedad que toda onda posee, y porque la naturaleza escribe incluso las partículas como ondas, la incertidumbre se vuelve una ley fundamental de la materia.