Con el tiempo la fase gira y una superposición oscila
Cada función de onda hasta ahora fue una foto congelada. El motor que la pone en movimiento es la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo iℏ ∂Ψ/∂t = HΨ, donde H es el hamiltoniano, el operador de energía total. Al resolverla, un estado estacionario de energía definida mantiene su forma |ψ|² fija mientras solo su fase e−iEt/ℏ gira. Pero superpón dos estados de distinta energía y las dos fases se separan, y la probabilidad empieza a oscilar de un lado a otro. En la primera figura, arrastra el deslizador de tiempo y sigue cómo un estado estacionario gira su fase.
Un solo estado estacionario sigue el tiempo como Ψ(x,t) = ψ(x) e−iEt/ℏ. La parte real Re(Ψ) del panel superior oscila e incluso cambia de signo al correr el tiempo, pero la densidad de probabilidad |Ψ|² del panel inferior queda inmóvil, porque una fase tiene módulo 1 y al elevar al cuadrado desaparece. Mueve el tiempo con el deslizador y cambia el número cuántico n por pasos, y confirmas que en cualquier estado estacionario solo gira la fase mientras la forma se queda quieta.
Ahora mezcla dos estados estacionarios ψ₁ y ψ₂ de distinta energía con amplitudes c₁, c₂. Al desarrollar |Ψ|² aparecen los cuadrados de c₁ψ₁ y c₂ψ₂ más un término de interferencia 2 Re[c₁c₂* ψ₁ψ₂* e−i(E₁−E₂)t/ℏ] donde ambos se encuentran. Ese término cambia de signo con el tiempo y empuja el bulto de probabilidad de un lado a otro. Cambia la razón de las dos amplitudes con el deslizador y arrastra el tiempo, y la oscilación es mayor cuando la mezcla es pareja. Aquí ω=(E₂−E₁)/ℏ es la frecuencia de batido que nace de las dos fases que pierden el paso, no la ω del oscilador ni la dispersión ω(k).
El tiempo de un ida y vuelta completo de la oscilación es el periodo de batido. Su fórmula es T = h/(E₂−E₁), así que una brecha mayor entre las dos energías da un periodo más corto. Aumenta la brecha (E₂−E₁) con el deslizador y lee, en dos números, cómo T se encoge mientras ω=(E₂−E₁)/ℏ crece. Aquí T es el periodo de la oscilación, no la probabilidad de transmisión T del efecto túnel. Cuanto más separadas las energías, más rápida la oscilación, y cuando ambas coinciden la oscilación se detiene, una intuición que compruebas a mano.
Por qué ocurre la oscilación se dibuja con dos manecillas de reloj. Las amplitudes c₁, c₂ son las longitudes de cada manecilla, y ambas giran a velocidades proporcionales a sus energías E₁, E₂. El término de interferencia depende solo del ángulo relativo de las dos manecillas, es decir (E₂−E₁)t/ℏ. Cuando ambas apuntan igual la probabilidad se inclina a un lado; cuando apuntan opuesto se inclina al otro. Gira el deslizador de tiempo, y cada vez que la manecilla rápida adelanta a la lenta una vuelta completa, se completa un batido.
Grafica la posición media ⟨x⟩(t) de la partícula en la mezcla de dos estados frente al tiempo y sale una curva senoidal limpia. El centro de masa del bulto de probabilidad que oscila yendo y viniendo es exactamente esta oscilación. Su frecuencia es de nuevo el batido ω=(E₂−E₁)/ℏ, y su amplitud es proporcional al producto c₁c₂ de las dos amplitudes. Así, con un solo estado presente (producto cero) la media queda quieta, y cuando ambos se mezclan por igual (producto máximo) oscila al máximo. Cambia la mezcla con el deslizador y observa la amplitud crecer y encoger.