Evolución temporal
Las funciones de onda de hasta ahora eran fotos con el tiempo parado. El motor que mueve la foto es la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo iℏ ∂Ψ/∂t = HΨ. H es el hamiltoniano que lleva la energía total. Un estado estacionario de energía definida deja la forma |ψ|² y solo gira la fase e−iEt/ℏ. Superpón dos estados de distinta energía y las fases pierden el paso, y la probabilidad empieza a oscilar de un lado a otro. El primer dibujo tira del tiempo y sigue la fase de un estado estacionario mientras gira.
Un estado estacionario sigue el tiempo como Ψ(x,t) = ψ(x) e−iEt/ℏ. La parte real Re(Ψ) oscila e incluso cambia de signo al correr el tiempo, pero la densidad de probabilidad |Ψ|² no se mueve, porque el tamaño de una fase es siempre 1 y al elevar al cuadrado desaparece. Cambia el tiempo y el número cuántico n, y en cualquier estado estacionario solo gira la fase mientras la forma se queda quieta.
Mezcla dos estados estacionarios ψ₁ y ψ₂ de distinta energía con amplitudes c₁, c₂. Al desarrollar |Ψ|² se suman los cuadrados de c₁ψ₁ y c₂ψ₂ a un término de interferencia 2 Re[c₁c₂* ψ₁ψ₂* e−i(E₁−E₂)t/ℏ] donde ambos se encuentran. Ese término cambia de signo con el tiempo y empuja el bulto de probabilidad de un lado a otro. Cambia la razón de las dos amplitudes y tira del tiempo, y la oscilación crece cuando la mezcla es pareja. ω=(E₂−E₁)/ℏ es la frecuencia de batido que nace de las dos fases que pierden el paso, no la ω del oscilador y no la dispersión ω(k).
El tiempo de un ida y vuelta de la oscilación es el periodo de batido. La fórmula es T = h/(E₂−E₁), así que una brecha mayor entre las dos energías hace un periodo más corto. Crece la brecha (E₂−E₁) y lee en dos números cómo T se encoge mientras ω=(E₂−E₁)/ℏ crece. Aquí T es el periodo de la oscilación, no la probabilidad de transmisión T del túnel. Cuanto más lejos las energías, más rápida la oscilación, y cuando las dos energías coinciden la oscilación se detiene.
Dibuja por qué ocurre la oscilación con dos manecillas de reloj. Las amplitudes c₁, c₂ son las longitudes de las manecillas, y las dos giran a velocidades proporcionales a sus energías E₁, E₂. El término de interferencia depende solo del ángulo relativo de las dos manecillas, esto es (E₂−E₁)t/ℏ. Cuando las manecillas apuntan igual la probabilidad se inclina a un lado, y cuando apuntan opuesto se inclina al otro. Gira el tiempo y cada vez que la manecilla rápida adelanta a la lenta una vuelta, un batido termina.
Dibuja la posición media ⟨x⟩(t) de la partícula en la mezcla de dos estados contra el tiempo y sale una curva seno. El centro de masa del bulto de probabilidad que oscila yendo y viniendo es esta vibración. La frecuencia es el batido ω=(E₂−E₁)/ℏ, y la amplitud es proporcional al producto c₁c₂ de las dos amplitudes. Con un solo estado el producto es 0 y la media se queda quieta, y cuando los dos se mezclan por igual el producto es el mayor y el vaivén es el mayor. Cambia la mezcla y la amplitud crece y se encoge.