Confínalo y la energía se vuelve discreta
Confina una partícula en una caja [0, L] de longitud L. La función de onda debe anularse en ambas paredes, así que no entra cualquier onda: solo sobreviven las ondas estacionarias fijadas en los dos extremos. Eso significa que solo se permiten las formas donde cabe un número entero de medias longitudes de onda, y la energía solo puede tomar valores discretos. En la primera figura observamos la onda estacionaria ψₙ(x) dentro de la caja mientras cambiamos n.
En ambas paredes de la caja ψ debe ser cero. Así que las únicas formas permitidas son ondas estacionarias fijadas a cero en cada extremo, como ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L). Recorre n por 1, 2, 3, 4 y verás aparecer un nodo más cada vez. El estado n-ésimo tiene n-1 nodos internos, con sus extremos clavados a las paredes.
Ahora lee la energía que lleva cada onda estacionaria como una escalera. La energía que aparece aquí por primera vez se escribe Eₙ (un nivel de energía), donde el subíndice n te dice qué peldaño. Comparte la letra E con el campo eléctrico E pero es una cantidad distinta: un nivel de energía discreto. Como Eₙ ∝ n², los peldaños se sitúan en razones 1, 4, 9, 16, y al seleccionar n se resalta esa barra. Verás que el espaciado se ensancha al subir.
Por qué solo enteros? Dentro de la caja debe caber un número entero de medias longitudes de onda. El estado n-ésimo aloja n medias ondas, así que la longitud de onda queda fijada en λₙ = 2L/n. Arrastra el deslizador para cambiar el número de medias ondas, y una forma que llega a cero en ambos extremos solo se forma en números enteros. La condición de frontera cuantiza λ, y una vez fijada λ, la energía también queda cuantizada.
El estado más bajo, n=1, se llama estado fundamental. Es la joroba más simple sin nodos, pero su energía no es cero sino un valor mínimo E₁. Esta es la energía de punto cero. Desliza el ancho de la caja L hacia abajo, y como E₁ ∝ 1/L², la energía fundamental se dispara rápido al estrecharse la caja. Usando ℏ = h/2π, E₁ = π²ℏ²/(2 m L²), así que el confinamiento fuerza una energía que nunca puede ser cero.
Al final un solo entero n fija todo de una vez. Elige n y estableces el número de jorobas, el conteo de nodos (n-1) y la energía Eₙ ∝ n² a la vez. Sube y baja n con el paso a paso y observa los tres valores cambiar al unísono. Un entero nombra cada estado permitido, y ese entero se llama número cuántico.