Partícula en una caja
Encierra una partícula en la caja [0, L]. La función de onda tiene que ser 0 en la pared, así que una onda cualquiera no entra y solo queda una onda estacionaria atada en los dos extremos. Solo se permiten formas cuya media onda entra un número entero de veces, y la energía solo puede tomar valores separados. El primer dibujo cambia ψₙ(x) dentro de la caja. El confinamiento es lo que parte los valores.
En las dos paredes ψ tiene que ser 0. La forma permitida es solo ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L), una onda estacionaria cuyos extremos son 0. Sube n por 1, 2, 3, 4 y los nodos (node) crecen de uno en uno. El estado n tiene n-1 nodos dentro, y los extremos siguen atados a las paredes.
Mira la energía de cada onda estacionaria como una escalera. La energía aquí es Eₙ, un nivel de energía, y el subíndice dice qué peldaño es. Es una cantidad distinta del campo eléctrico E, un nivel que viene en pasos separados. Como Eₙ ∝ n², los peldaños se abren en la razón 1, 4, 9, 16, y elegir n resalta ese peldaño. Más arriba, los huecos se ensanchan.
Por qué solo números enteros. Dentro de la caja tiene que caber un número entero de medias ondas. El estado n lleva n medias ondas, así que la longitud de onda queda fija como λₙ = 2L/n. Cambia el conteo de medias ondas y una forma con los dos extremos en 0 aparece solo para un entero. La condición de frontera cuantiza la longitud de onda, y una vez fijada la longitud de onda la energía también queda cuantizada.
El más bajo n=1 se llama el estado fundamental. Es una joroba simple sin nodo, y aun así la energía no es 0 y lleva un mínimo E₁. Eso es la energía de punto cero. Encoge el ancho L de la caja y E₁ ∝ 1/L², así que una caja más estrecha empuja el suelo hacia arriba rápido. Usar ℏ = h/2π da E₁ = π²ℏ²/(2 m L²), y el confinamiento se niega a dejar que la energía sea 0.
Un solo entero n fija todo a la vez. Fija n y el número de jorobas, el número de nodos (n-1) y la energía Eₙ ∝ n² quedan fijos juntos. Sube y baja n y los tres valores se mueven juntos. Un entero nombra cada estado permitido, así que se llama número cuántico.