Operadores y valor esperado
En la mecánica cuántica toda observable, la posición, el momento y la energía, es un operador que actúa sobre la función de onda. La posición es multiplicar por x̂, el momento lee la pendiente como p̂ = −iℏ d/dx, y la energía es el hamiltoniano H. Una medida devuelve un valor propio de ese operador, y el promedio de muchas medidas es el valor esperado ⟨A⟩ = ∫ψ*Âψ dx. Cuánto el orden de estos operadores se niega a cambiar, esto es [x̂, p̂] = iℏ, es la raíz de la incertidumbre. El primer dibujo muestra qué es ⟨x⟩.
Promediar una observable quiere decir un promedio ponderado con la densidad de probabilidad |ψ|². El valor esperado de la posición es ⟨x⟩ = ∫ x|ψ|² dx, el centro de masa de la joroba. Mueve la joroba o inclínala y la marca ⟨x⟩ sigue, y una banda de ancho muestra cuánto se dispersan los resultados alrededor de ese promedio. Ese ancho es √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²).
El momento vive en la pendiente de la fase, no en el tamaño de la función de onda. Mueve el deslizador que multiplica por la fase de onda plana eik0x, con número de onda k0, y |ψ|² se queda quieta mientras solo el valor esperado del momento se mueve como ⟨p⟩ = ℏk0. El operador de momento p̂ = −iℏ d/dx es lo que lee esa pendiente de la fase. La posición vive en el tamaño, y el momento vive en la fase.
En un autoestado de un operador el resultado de la medida está fijo. En un solo autoestado de energía hay una sola barra, así que siempre sale el mismo valor propio y la dispersión es σE = 0. Mezcla un segundo autoestado y las dos barras |c₁|², |c₂|² se parten según las probabilidades de Born y aparece una distribución. Un autoestado es certeza, y una mezcla es una distribución.
Por qué algunos pares no pueden ser nítidos a la vez. Actuar con x̂ primero y luego con p̂ sobre la misma función no es lo mismo que actuar con p̂ primero y luego con x̂. Sigue los dos órdenes y la diferencia que queda es exactamente [x̂, p̂]ψ = iℏ ψ. Que los operadores no conmuten es la raíz de la incertidumbre.
Cómo se ata el promedio a la mecánica clásica. Mueve un paquete de ondas dentro del potencial parabólico V(x) y la posición media ⟨x⟩ oscila a izquierda y derecha como una bola clásica. Eso es el teorema de Ehrenfest. d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m y d⟨p⟩/dt = −⟨dV/dx⟩, así que los valores esperados siguen la ecuación de movimiento clásica en promedio.