El oscilador armónico tiene niveles igualmente espaciados
Coloca una partícula no contra paredes duras sino dentro de un potencial suave con forma de cuenco V(x) = ½ m ω² x². En la caja los peldaños de energía se apiñaban hacia arriba como 1, 4, 9, 16, pero aquí es al revés: el espaciado se mantiene igual de abajo a arriba en ΔE = ℏω. Los niveles son Eₙ = (n + ½)ℏω, así que los peldaños de la escalera se alinean a un intervalo constante. En la primera figura miramos juntos el cuenco V(x) y la escalera de energía igualmente espaciada que se asienta sobre él, y observamos cómo cambian ambos al ajustar la rigidez ω.
Usa el deslizador para cambiar la rigidez ω del cuenco V(x) = ½ m ω² x². Esta ω es la frecuencia angular del oscilador, la misma cantidad que la ω del movimiento armónico simple clásico (SHM). Sube ω y el cuenco se vuelve estrecho y empinado, y la escalera de energía que se asienta sobre él se estira hacia arriba y abajo con él. Los peldaños siempre se sitúan a un espaciado constante ΔE = ℏω, mostrado en una lectura a su lado. A diferencia de la caja con 1, 4, 9, 16, los huecos nunca se apiñan.
Ahora mira qué función de onda ψₙ(x) lleva cada peldaño de la escalera. Aquí Hₙ es un polinomio de Hermite (un polinomio con subíndice), una cantidad distinta del hamiltoniano H que comparte la misma letra. ψₙ es una joroba gaussiana multiplicada por Hₙ(x), así que el estado n-ésimo tiene exactamente n nodos. Recorre n de 0 a 4 y verás la joroba ondular dentro del cuenco, ganando un nodo más cada vez.
Sube a peldaños altos y observa cómo se encuentran las imágenes cuántica y clásica. Un oscilador clásico se frena cerca de sus extremos (puntos de retorno) y se demora allí, así que la probabilidad de hallarlo ahí es la mayor, yendo como ∝ 1/√(xmax² − x²). Sube n con el deslizador y las jorobas onduladas del |ψₙ(x)|² cuántico trazan cada vez más esta curva clásica con forma de bañera. Para n pequeño los dos difieren mucho, pero para n grande la probabilidad se amontona cerca de ambos puntos de retorno y casi se solapan. Este es el principio de correspondencia.
Misma partícula, distinto cuenco. Pon las dos escaleras lado a lado y compara. La caja tiene paredes duras así que Eₙ ∝ n², y los peldaños se separan rápido hacia arriba como 1, 4, 9, 16. El oscilador armónico tiene un cuenco parabólico suave así que Eₙ = (n + ½)ℏω, y el espaciado se mantiene igual todo el camino en ΔE = ℏω. Alterna entre las dos escaleras y verás de un vistazo cómo la forma del potencial fija el espaciado de energía.
Mira de cerca el estado fundamental n=0. Es una simple joroba gaussiana sin ningún nodo, pero su energía no es cero sino E₀ = ½ℏω. Esta es la energía de punto cero: ni siquiera el estado más calmo puede llegar a reposar del todo. Cambia ω con el deslizador y la joroba se hace más ancha o más estrecha, pero E₀ = ½ℏω siempre se queda a la mitad de la altura del primer peldaño y nunca toca el cero. Mientras esté confinado, la energía fundamental no puede ser cero.