Oscilador armónico cuántico
Pon una partícula en un cuenco blando V(x) = ½ m ω² x², no entre paredes duras. En la caja los peldaños de energía corrían 1, 4, 9, 16 y se abrían al subir, pero aquí el hueco es el mismo ΔE = ℏω del primero al último. Los niveles son Eₙ = (n + ½)ℏω, y los peldaños se alinean parejos. El primer dibujo pone el cuenco V(x) junto a esa escalera pareja, y cambiar la rigidez mueve los dos juntos.
Cambia la rigidez ω del cuenco V(x) = ½ m ω² x². Esta ω es la frecuencia angular del oscilador, la misma ω del movimiento armónico simple clásico (SHM). Sube ω y el cuenco se vuelve estrecho y empinado, y la escalera de encima se estira con él. Los peldaños se sientan siempre en ΔE = ℏω, y ese valor se muestra al lado. A diferencia de los valores de la caja 1, 4, 9, 16, los huecos nunca se aprietan.
Mira qué función de onda ψₙ(x) lleva cada peldaño. Hₙ es un polinomio de Hermite, una cantidad distinta del hamiltoniano H. ψₙ es una joroba gaussiana por Hₙ(x), así que el estado n tiene exactamente n nodos (node). Sube n de 0 a 4 y la joroba ondula dentro del cuenco mientras los nodos crecen de uno en uno.
Sube a un peldaño alto y mira dónde lo cuántico se encuentra con lo clásico. Un oscilador clásico se frena cerca del punto de retorno y se demora, así que la probabilidad de estar ahí es máxima como ∝ 1/√(xmax² − x²). Sube n y los picos ondulantes del cuántico |ψₙ(x)|² siguen esa curva clásica. Cuando n es pequeño los dos difieren mucho, y cuando n es grande la probabilidad se amontona en los dos extremos y casi se solapan. Eso es el principio de correspondencia.
La misma partícula, un cuenco distinto, puestos lado a lado. La caja tiene paredes duras, así que Eₙ ∝ n², y los peldaños se abren como 1, 4, 9, 16 al subir. El oscilador armónico es un cuenco blando, así que Eₙ = (n + ½)ℏω, y el hueco se queda ΔE = ℏω hasta el final. Alterna las dos escaleras y se ve de un golpe cómo la forma del cuenco fija el espaciado.
Mira de cerca el fundamental n=0. Es una joroba gaussiana sin nodo, y aun así la energía no es 0 sino E₀ = ½ℏω. Eso es la energía de punto cero, así que ni el estado más quieto se detiene del todo. Cambia ω y el ancho de la joroba cambia, pero E₀ = ½ℏω se queda a media altura del primer hueco y no toca 0. Mientras la partícula esté confinada, la energía del suelo no puede ser 0.