Partícula libre y dispersión

Primero mira una sola onda plana. Re(ψ) = cos(kx − ωt) es una onda que sigue sin fin. Cambia k para cambiar lo apretada que está la onda, y manda las crestas hacia adelante en el tiempo. Aquí k = 2π/λ es el número de onda. La velocidad de las crestas se lee como la velocidad de fase v_p = ℏk/2m, y subir k hace que las crestas corran más.

Suma varios cosenos de valores de k cercanos y arma un paquete. Deja correr el tiempo y las dos velocidades se separan. Una cresta marcada va despacio a la velocidad de fase, y el pico de todo el paquete va delante a la velocidad de grupo v_g, el doble. Se ve el pico adelantando a la cresta. En una onda de materia siempre es v_g = 2v_p, y la velocidad a la que la partícula se traslada de verdad es la velocidad de grupo.

Las dos velocidades viven en la curva de dispersión ω(k) = ℏk²/2m. Esta ω(k) es la frecuencia de dispersión que ata la frecuencia al número de onda, no la ω del oscilador y no una frecuencia de batido. Mueve un punto sobre la curva y la pendiente de la tangente es la velocidad de grupo v_g, y la pendiente desde el origen hasta ese punto es la velocidad de fase. Por ser una parábola la tangente es el doble de empinada que la cuerda, y se confirma v_g = 2v_p.

Una partícula libre se extiende al pasar el tiempo aunque se quede quieta. |ψ(x,t)|² se vuelve más ancha y más plana al empujar el tiempo. Pasa porque la curva de dispersión está curvada, esto es porque d²ω/dk² = ℏ/m no es 0. Cuanto más estrecho hagas el paquete al principio, más rápido se extiende. Estrechar la posición ensancha el momento, y eso se ata a la incertidumbre.

Pon la partícula libre junto a la caja. Una partícula libre permite cualquier k, así que E(k) = ℏ²k²/2m es una curva continua sin cortes. Una caja atrapada permite solo una escalera separada E ∝ n². Cambia las dos y la diferencia es clara: lo libre es un continuo suave, la caja son escalones discretos. Atrápalo y se cuantiza. Suéltalo y es continuo.