Una partícula libre viaja a la velocidad de grupo y se dispersa
Una partícula libre sin confinar no tiene peldaños de energía encajonados. En cambio, cualquier número de onda k está permitido, y cada onda plana oscila con la relación de dispersión ω(k) = ℏk²/2m. De ahí surge algo curioso. Las crestas de la onda se desplazan lentamente a la velocidad de fase vp, pero la velocidad a la que la partícula realmente viaja es el doble, la velocidad de grupo vg. Y al pasar el tiempo, un paquete de ondas antes compacto se ensancha sin cesar. Veremos crestas, paquetes, la curva de dispersión y el ensanchamiento, una figura cada vez.
Empieza con una sola onda plana. Re(ψ) = cos(kx − ωt) es una ondulación que se repite sin fin. El deslizador k cambia cuán apretada es la ondulación, y el deslizador de tiempo hace avanzar las crestas. Aquí k = 2π/λ es el número de onda. La velocidad a la que una cresta se desplaza se lee como la velocidad de fase vp = ℏk/2m. Sube k y las crestas corren más rápido.
Ahora suma varios cosenos de k cercanos en un solo paquete. Deja correr el tiempo y las dos velocidades se separan. Una cresta marcada avanza despacio a la velocidad de fase vp, mientras el pico de todo el paquete se adelanta a la velocidad de grupo vg, el doble de rápido. Puedes ver al pico rebasar a las crestas. Para las ondas de materia siempre se cumple vg = 2vp, y la velocidad de grupo es la velocidad a la que la partícula realmente se mueve.
La identidad de las dos velocidades está toda dentro de la curva de dispersión ω(k) = ℏk²/2m. Esta ω(k) es la frecuencia de dispersión que liga frecuencia a número de onda; no es la ω del oscilador ni una frecuencia de batido. Arrastra el punto por la curva. La pendiente de la tangente allí, dω/dk, es la velocidad de grupo vg, y la pendiente de la cuerda desde el origen hasta ese punto, ω/k, es la velocidad de fase vp. Por ser una parábola, la tangente siempre es el doble de empinada que la cuerda, así que la lectura confirma vg = 2vp.
Una partícula libre se ensancha con el tiempo incluso dejada en paz. Al empujar el deslizador de tiempo, |ψ(x,t)|² se vuelve más ancha y plana. Esto ocurre porque la curva de dispersión es curva, es decir, d²ω/dk² = ℏ/m no es cero. Cuanto más estrecho hagas el paquete inicial, más rápido se ensancha. Eso enlaza exactamente con la incertidumbre: aprieta la posición y el momento se ensancha.
Por último, coloca la partícula libre y la caja una al lado de la otra. La partícula libre permite cualquier k, así que E(k) = ℏ²k²/2m es una curva continua sin cortes. La caja confinada, en cambio, solo permite una escalera escasa con E ∝ n². Alterna entre ambas y el contraste queda claro: libre es un continuo suave, la caja es una escalera discreta. El confinamiento cuantiza; la liberación lo vuelve continuo.