Un pozo finito solo retiene unos pocos estados ligados
En la caja infinita las paredes eran infinitamente altas, así que podías apilar ondas estacionarias sin límite. Pero un pozo real tiene una profundidad finita V0. Entonces el número de estados que pueden quedar atrapados dentro (estados cuya energía E está entre −V0 y 0) es un conteo fijo y finito. Además la función de onda se filtra más allá de las paredes como e−κ|x|. Aquí κ es la misma constante de decaimiento que viste en la lección de efecto túnel, y los estados ligados tienen E por debajo de cero. En la primera figura observamos cómo aparecen y desaparecen los peldaños de la escalera al cambiar la profundidad.
Un único número adimensional fijado conjuntamente por la profundidad V0 y la semianchura a es la intensidad z0 = a·√(2 m V0)/ℏ. El número de estados ligados es aproximadamente 1 + floor(z0 / (π/2)), y siempre hay al menos uno, por poco profundo que sea. Sube V0 con el deslizador y un nuevo peldaño aparece en el pozo cada vez que z0 cruza un múltiplo de π/2. La figura dibuja las paredes del pozo junto con las líneas de nivel de energía que hay dentro.
Mira de cerca la forma de un estado ligado. Dentro del pozo oscila con número de onda k = √(2 m (E + V0))/ℏ, pero fuera de las paredes decae suavemente como e−κ|x|. Aquí κ = √(−2 m E)/ℏ, bien definido porque E está por debajo de cero. Sube E hacia cero (haz el pozo poco profundo) y las colas engordan y alcanzan más lejos. La partícula se filtra en una región en la que clásicamente nunca podría entrar.
Cómo salen las energías permitidas? Los estados pares cumplen k·tan(ka) = κ, los impares −k·cot(ka) = κ, ecuaciones trascendentes que debes resolver. Las resolvemos gráficamente. Superpón un cuarto de círculo de radio z0 con las ramas de tan y −cot en un mismo plano, y los puntos donde se cortan son exactamente las energías permitidas. Sube z0 con el deslizador y el cuarto de círculo crece, así que el número de intersecciones aumenta.
Mueve E lentamente a través de cero. Mientras E está por debajo de cero obtienes un estado ligado localizado con colas que decaen en ambos lados, una partícula que se queda en el pozo. Pero en cuanto E sube por encima de cero y se vuelve positiva, ya no está atrapada y se convierte en un estado de dispersión oscilante que se extiende hasta el infinito por ambos lados. Ahora la energía ya no es discreta sino continua. Así que E < 0 es un espectro discreto, y E > 0 es uno continuo.
Por último, haz el pozo cada vez más profundo. Aumentar V0 hace crecer κ, así que las colas se desvanecen rápido y la forma de onda interior se acerca a las formas sin de la caja infinita que se anulan en ambos extremos. La escalera de energía también se acerca a la razón de la caja infinita Eₙ ∝ n². La figura superpone el resultado de la caja infinita sobre la forma de onda del pozo finito, así que ves de un vistazo cómo el límite V0 → ∞ recupera la caja familiar.