Pozo cuadrado finito
En una caja infinita las paredes son altas sin fin, así que las ondas estacionarias se pueden apilar sin límite. Un pozo real tiene una profundidad finita V0. Entonces los estados que pueden quedar atrapados, aquellos cuya energía E está entre −V0 y 0, son un número finito. La función de onda se filtra más allá de la pared como e−κ|x|. κ es la misma constante de decaimiento de la lección del túnel, y un estado ligado tiene E por debajo de 0. El primer dibujo cambia la profundidad y muestra peldaños que aparecen y desaparecen.
Un número sin unidades fijado por la profundidad V0 y la semianchura a es la intensidad z0 = a·√(2 m V0)/ℏ. El número de estados ligados es aproximadamente 1 + floor(z0 / (π/2)), y hay al menos uno por poco profundo que sea. Sube V0 y un peldaño nuevo aparece dentro del pozo cada vez que z0 cruza un múltiplo de π/2. El dibujo traza las paredes del pozo junto con las líneas de nivel de dentro.
Mira de cerca la forma de un estado ligado. Dentro del pozo oscila con número de onda k = √(2 m (E + V0))/ℏ, y fuera de la pared se apaga con suavidad como e−κ|x|. Aquí κ = √(−2 m E)/ℏ, bien definido porque E está por debajo de 0. Acerca E a 0, que es lo mismo que hacer el pozo poco profundo, y las colas se vuelven más gruesas y llegan más lejos. La partícula se filtra a una región a la que no puede entrar en lo clásico.
Cómo salen las energías permitidas. Los estados pares cumplen k·tan(ka) = κ, y los impares cumplen −k·cot(ka) = κ, una ecuación trascendente. Se resuelve como un dibujo. Superpón un cuarto de círculo de radio z0 con las ramas de tan y −cot en un plano, y los puntos de encuentro son las energías permitidas. Sube z0 y el cuarto de círculo crece, así que crece el número de cruces.
Mueve E despacio para que pase 0. Mientras E está por debajo de 0 las colas se apagan a los dos lados, un estado ligado, una partícula que se queda en el pozo. Cuando E pasa 0 y se vuelve positivo ya no está atrapado y se vuelve un estado de dispersión que se extiende sin fin a los dos lados. Entonces la energía es continua y no separada. E < 0 es un espectro discreto, y E > 0 es un espectro continuo.
Por último haz el pozo cada vez más profundo. Sube V0 y κ crece, las colas desaparecen rápido, y la forma de onda interior se acerca a la forma sin de la caja infinita que es 0 en los dos extremos. La escalera de energía también se acerca a la razón de la caja infinita Eₙ ∝ n². El resultado de la caja infinita se dibuja sobre la forma del pozo finito, así que el límite V0 → ∞ volviendo a la caja familiar se ve de un golpe.