Un estadístico de una muestra es en sí mismo aleatorio
Extrae una muestra y toma su promedio, y obtienes un solo número. Extrae otra muestra y obtienes un número distinto. Dicho de otro modo, un estadístico calculado a partir de una muestra, aquí la media muestral, es en sí mismo una variable aleatoria que salta de muestra a muestra. Este salto tiene su propia ley. La distribución de los valores que la media muestral puede tomar se llama su distribución muestral, y el ancho de esa distribución se llama error estándar. Si en la lección normal-clt de matemáticas de ingeniería viste que sumar muchos valores produce una campana, aquí planteamos una pregunta más afilada: cuánto se dispersa la media misma de muestra a muestra, y cómo se encoge esa dispersión al crecer la muestra. Hay exactamente una fórmula clave: el error estándar es igual a σ dividido por la raíz cuadrada de n. Esa única línea explica por qué una encuesta solo necesita unos pocos miles de personas, por qué repetimos un experimento muchas veces, y de dónde viene el ± junto a cada estimación.
Pulsa el botón para extraer una muestra nueva. Aunque cada muestra proviene de la misma población y tiene el mismo tamaño n, su media x̄ sale un poco distinta cada vez. Una extracción es un punto, otra extracción es otro punto, y al ir apilando estas medias muestrales en un histograma, lo que empieza irregular se asienta en un montículo que se abulta en el centro. Este montón que se acumula es la distribución muestral, la distribución que el estadístico llamado media muestral dibuja para sí mismo. El punto clave es que aquello que medimos, la media poblacional, es fijo, mientras que la herramienta con que lo estimamos, la media muestral, oscila. Conocer la forma y el ancho de esa oscilación es toda esta lección.
Ahora mira dos distribuciones una al lado de la otra. El gris ancho muestra cómo se dispersan los datos brutos individuales, y su ancho es la desviación típica poblacional σ. Alzándose estrecho encima, la distribución azul muestra cómo se dispersan las medias de muestras de tamaño n, apretadas mucho más hacia el centro. Como al promediar los valores grandes y pequeños se cancelan entre sí, la media oscila mucho menos que cualquier valor individual. Este ancho estrecho es el error estándar, y aunque su nombre se parece al de la desviación típica σ, es una cantidad completamente distinta: σ dice cuánto difieren los individuos, mientras que el error estándar dice cuán poco fiable es el promedio de esos individuos. Arrastra n hacia arriba y observa cómo el gris se queda quieto mientras solo el azul se vuelve cada vez más estrecho.
Ahora fija ese ancho con una fórmula exacta: el error estándar es igual a σ dividido por la raíz cuadrada de n. Lo crucial es que el denominador lleva la raíz cuadrada de n, no n mismo. Arrastra n hacia arriba y el error estándar baja por la curva, cayendo con fuerza al principio y aplanándose después. Hay que cuadruplicar n para reducir a la mitad el error estándar, y para recortar el error a una décima parte hay que reunir cien veces la muestra. Por este muro de la raíz cuadrada, comprar más precisión cuesta cada vez más. Así que pasado cierto punto, mejorar la medición misma supera a recolectar más muestras. Más datos siempre es mejor, pero saber que la ganancia crece solo al ritmo de la raíz cuadrada de n es de lo que está hecho el buen criterio.
Hasta ahora la población ha sido una campana, así que hemos ido con ventaja. ¿Y una distribución descaradamente sesgada hacia un lado? Aquí la distribución exponencial se amontona cerca de 0 y arrastra una cola larga a la derecha, nada simétrica. En n igual a 1 la distribución de la media muestral es justo este original sesgado. Pero arrastra n hacia arriba y ocurre algo asombroso. Por muy desequilibrada que sea la fuente, la distribución de la media muestral se acerca sin pausa a una campana simétrica y encaja sobre la curva normal dorada. Esta es la cara de distribución muestral del teorema central del límite. En normal-clt viste que sumar valores produce una campana; aquí ves que la distribución de esa suma dividida por n, la media, converge a N(μ, σ/√n) sin importar la forma original. Por eso, aun sin conocer la forma de la población, podemos tratar la media muestral misma como normal.
Por último, superpón directamente el efecto del tamaño muestral sobre la distribución muestral. El gris es la distribución de medias de una muestra pequeña (n=4), repartida a lo ancho. El azul es la distribución de medias del n grande que fijas con el deslizador. Cuanto más subes n, más alto y estrecho se alza el azul, ciñéndose alrededor de la media verdadera. Ambas distribuciones comparten el mismo centro μ, y solo el ancho se encoge, al ritmo de σ/√n. Lo que esto significa en la práctica es claro: una muestra mayor hace que nuestra estimación caiga más cerca del valor verdadero con más frecuencia, es decir, la estimación es más precisa. Las encuestas, los ensayos clínicos y las inspecciones de calidad aumentan el tamaño muestral justo por esta imagen. Pero, como mostró el bloque 3, la ganancia crece solo como la raíz cuadrada de n, así que cuán estrecho es suficiente siempre se sopesa contra el costo.