Distribución muestral
Extrae una muestra y promediala y obtienes un número. Extrae otra muestra y obtienes otro número. El estadístico calculado de una muestra, aquí la media muestral, es él mismo una variable aleatoria que se mece cada vez que extraes. Ese vaivén tiene una regla. La distribución de los valores que puede tomar la media muestral se llama distribución muestral, y su ancho se llama error estándar. Si viste en normal-clt que sumar muchos valores hace una campana, aquí ves cuánto se abre esa media de muestra en muestra, y cómo se encoge la apertura al crecer la muestra. La fórmula central es una línea. El error estándar es la desviación estándar dividida por una raíz cuadrada. Esa línea explica por qué una encuesta puede preguntar solo a un número modesto, por qué un experimento se repite, y de dónde sale el ± junto a una estimación. El ancho del vaivén es la respuesta.
Pulsa el botón y se extrae una muestra nueva. Aunque extraigas muestras del mismo tamaño de la misma población, su media x̄ difiere un poco cada vez. Una extracción, un punto, otra extracción, otro punto. Apila estas medias muestrales en un histograma y empieza irregular y luego se asienta en un montículo con el medio levantado. Esta distribución que crece es la distribución muestral, la distribución que dibuja para sí el estadístico llamado media muestral. Lo que importa es que la media de la población que medimos está fija, mientras la herramienta que la estima, la media muestral, se mece. Conocer la forma y el ancho de ese vaivén es toda esta lección. La herramienta se mece.
Ahora mira las dos distribuciones lado a lado. La ancha es cómo se dispersan los valores crudos uno a uno, y su ancho es la desviación estándar de la población. La estrecha que se alza encima es cómo se dispersan las medias de muestras de tamaño n, reunidas mucho más apretadas al medio. Al promediar, los valores grandes y los pequeños se cancelan, así que la media se mece mucho menos que un valor solo. Este ancho estrecho es el error estándar. Tiene un nombre cercano a la desviación estándar y es una cantidad del todo distinta. La desviación estándar dice cuánto difieren los individuos. El error estándar dice cuán poco fiable es la media de esos individuos. Crece el tamaño y la ancha se queda mientras solo la estrecha se hace más estrecha. Promediar reduce el vaivén.
Ahora fija ese ancho con una fórmula. El error estándar es la desviación estándar dividida por una raíz cuadrada. El punto es que el denominador guarda la raíz cuadrada, no la cuenta misma. Crece el tamaño y el error estándar cae a lo largo de la curva, empinado al principio y luego más suave. Hay que crecer el tamaño 4 veces para que el error estándar se parta por la mitad, y para cortar el error a 1/10 hay que juntar 100 veces la muestra. Por este muro de la raíz cuadrada, subir la precisión cuesta cada vez más. Pasado un punto conviene mejorar la medición misma antes que juntar aún más. Más datos es mejor, pero la ganancia crece solo a la velocidad de √n, y saberlo es sentido práctico. La ganancia crece despacio.
Hasta aquí la población tenía forma de campana, lo cual era generoso. Qué pasa si la distribución está abiertamente sesgada. Esta distribución exponencial se apiña cerca de 0 y arrastra una cola larga a la derecha. No es simétrica en absoluto. Cuando el tamaño es 1, la distribución de la media muestral es ese original sesgado tal cual. Crece el tamaño y ocurre algo sorprendente. Aunque la fuente esté así de torcida, la distribución de la media muestral se acerca a una campana simétrica izquierda-derecha y encaja en la curva normal. Esta es la cara de distribución muestral del teorema del límite central. Si normal-clt mostró que sumar valores hace una campana, aquí la distribución de la media, esa suma partida por la cuenta, converge a N(μ, σ/√n) sin importar la forma original. Así podemos tratar la media muestral como normal aunque no sepamos la forma de la población. Las formas difieren y la media sigue siendo una campana.
Por último, solapa directamente el efecto del tamaño de muestra sobre la distribución muestral. La ancha es la distribución de la media de una muestra pequeña, n=4, extendida. La estrecha es la distribución de la media de una muestra grande que haces crecer. Al subir el tamaño la estrecha se alza más alta y más apretada alrededor de la media verdadera. Los centros de las dos distribuciones se solapan en el mismo sitio, y solo el ancho se encoge a la velocidad de una raíz cuadrada. Lo que esto quiere decir en la práctica es claro. Una muestra grande deja nuestra estimación más cerca de la verdad, y más a menudo. La estimación es más precisa. Las encuestas, los ensayos clínicos y los controles de calidad crecen el tamaño de muestra por la razón de este dibujo. Como mostró la lección 3, la ganancia crece solo como una raíz cuadrada, así que cuán estrecho basta se pesa siempre contra el costo. Precisión y costo se leen juntos.