La recta que mejor se ajusta a una nube de puntos
Las mediciones nunca caen sobre una recta perfecta. Estatura y peso, horas de estudio y notas de examen, temperatura y ventas de helado: los puntos se dispersan, y aun así una tendencia se esconde dentro de la nube. El coeficiente de correlación r resume en un solo número cuán estrechamente los puntos se pegan a una recta, y los mínimos cuadrados trazan la única recta que hace lo más pequeño posible la suma de los desvíos verticales al cuadrado. De esa recta leemos una pendiente, preguntamos cuánta dispersión explica mediante R², y por último comprobamos si la pendiente es real o podría ser solo ruido. Es el mismo álgebra que la lección de matemática de ingeniería sobre proyección y mínimos cuadrados, vista desde otra lente: allí proyectábamos un vector sobre el espacio columna, aquí ajustamos una recta a datos con ruido y preguntamos qué nos permite inferir.
Agarra cualquier punto y arrástralo. El coeficiente de correlación r se actualiza al instante. Cuando los puntos se alinean subiendo juntos, r se sitúa cerca de +1; cuando a mayor x tiende a corresponder menor y, r se dirige hacia -1; cuando la nube es redonda y sin forma, r ronda el 0. r mide solo la asociación lineal y nada más: no le importan las unidades y nunca sale del rango de -1 a +1.
Para una nube fija, intenta colocar tú mismo una recta con los deslizadores de pendiente e intercepto. El medidor sigue el SSE, la suma de los huecos verticales al cuadrado entre cada punto y tu recta. Empuja la recta de un lado a otro y el medidor sube; hay exactamente una pendiente y un intercepto que lo llevan al fondo. Ese punto más bajo es el ajuste por mínimos cuadrados, y el botón de encaje te lleva directo allí. El mejor ajuste significa el menor error al cuadrado, no un error nulo.
Cada residuo es lo que sobra, el hueco vertical de la y real menos la ŷ predicha. Elevarlos al cuadrado y sumarlos da SSres, cuánto sigue fallando la recta. Compáralo con SStot, los fallos que tendrías usando solo la recta plana de la media. Su cociente da R² = 1 - SSres / SStot, la fracción de la variación de arriba y abajo que la recta explica. Alterna entre la línea base de la media y la recta ajustada para ver cómo encoge lo que sobra.
Parte de una recta limpia y vierte ruido. A medida que el deslizador aumenta la dispersión, la misma tendencia de fondo queda sepultada y r se desliza desde cerca de 1 hacia 0. La relación no ha cambiado; lo que cambió es nuestra capacidad de verla. Una correlación fuerte no consiste en una pendiente empinada, sino en cuán poco se alejan los puntos de la recta.
Una pendiente medida a partir de datos es solo una estimación, así que la envolvemos en un intervalo de confianza. Con pocos puntos o mucho ruido el intervalo es ancho y puede abarcar el cero, lo que significa que la tendencia podría ser un accidente. Reúne más puntos y el intervalo se estrecha; en cuanto deja el cero por completo, decimos que la pendiente es estadísticamente significativa. Desliza el tamaño de la muestra y observa cómo el intervalo se cierra en torno a la pendiente verdadera.