Cuantas más muestras, más se acerca el promedio
Lanza una moneda unas pocas veces y la fracción de caras salta de un lado a otro, pero lánzala miles de veces y se asienta cerca de 0.5. La ley de los grandes números es esta atracción: cuantas más muestras reúnes, más converge el promedio muestral al verdadero valor esperado E[X]. Usa la ley al revés y podrás estimar un número difícil de calcular a partir de muestras aleatorias, que es el método de Monte Carlo. A lo largo de cinco figuras vemos converger el promedio, lanzamos dardos para fijar π, medimos cómo el error se encoge como 1/√n, vemos un histograma crecer hasta una curva de densidad y confirmamos que semillas distintas comparten el mismo límite.
Cuenta cara como 1 y cruz como 0 y la moneda tiene valor esperado E[X] = 0.5; para un dado, el promedio de puntos es E[X] = 3.5. Arrastra el deslizador para el número de lanzamientos n y se dibuja el promedio acumulado hasta ese punto. Los primeros lanzamientos oscilan con fuerza, pero al crecer n la curva se ciñe a la línea discontinua del valor esperado. Como usamos una semilla fija, aparece el mismo camino cada vez que lo abres.
Lanza dardos por todo el cuadrado [0,1]×[0,1]. La fracción que cae dentro del cuarto de círculo de radio 1 centrado en el origen converge a su área, π/4. Así que multiplicar por 4 la fracción interior da una estimación de π. Sube el número de dardos n y los puntos se llenan mientras la estimación se ajusta hacia 3.14159. Medir un área con muestras aleatorias así es la semilla de la integración de Monte Carlo.
Más muestras ayudan, pero ¿a qué velocidad? Grafica el error de estimación |estimación - verdadero| frente a n y se encoge a un ritmo aproximado de 1/√n. Eso significa que reducir el error a la mitad cuesta cuatro veces más muestras. Cambia la línea guía entre 1/√n y 1/n: el error real sigue al lento 1/√n, no al rápido 1/n. Muestra lo cara que es la precisión.
Da un paso más: no solo converge la media. El histograma completo de n muestras se acerca a la curva de densidad de probabilidad de la población. Cuando n es pequeño las barras son irregulares, pero al crecer n su contorno se asienta sobre la curva de densidad suave. Alterna entre las distribuciones normal y uniforme para comprobarlo. Por eso un histograma deja leer la forma de una distribución.
Si es aleatorio, ¿cómo vuelve la misma imagen cada vez? Nuestros números aleatorios son una sucesión determinista fijada por una sola semilla, así que la misma semilla reconstruye el mismo camino. Cambia la semilla y el vaivén inicial difiere en cada uno, pero todos los caminos se reúnen en el mismo valor esperado 0.5. La aleatoriedad hace que los caminos difieran; la ley de los grandes números hace que el destino sea el mismo. Así un experimento puede ser reproducible y aun así dar una conclusión universal.