Contraste de hipótesis
Aunque un fármaco nuevo parezca eficaz o un algoritmo nuevo parezca más rápido, eso solo no puede dar certeza. Podría haber salido así por azar. Por eso la estadística se mueve como un tribunal. Primero fija la postura escéptica de que no hay efecto, la hipótesis nula H0. Luego pregunta cuán rara sería la salida de los datos que vimos si H0 fuera de verdad cierta. Si un resultado así de grande sería muy poco probable aun cuando H0 es cierta, se vuelve incómodo mantener H0, así que rechazamos H0 y aceptamos la alternativa H1. El punto no es que los datos prueben la verdad. Mide si el resultado es demasiado sorprendente para explicarlo por azar. Las lecciones anteriores vieron cómo se dispersa una media muestral y cómo esa dispersión arma un rango para el valor verdadero. Esta vez la misma campana se usa como regla de la sorpresa. La sorpresa es el lenguaje de la decisión. El azar puede imitar un efecto, así que la misma pregunta de la sorpresa sigue en pie antes de confiar en el resultado.
El primer paso es fijar con claridad las dos hipótesis. La nula H0 es siempre una igualdad, que clava que no hay diferencia, por ejemplo media = μ0. La alternativa H1 es la afirmación que queremos mostrar. H1 puede tomar tres formas, mayor de un lado, menor de un lado, o simplemente distinta. Aleja el centro de H1 de H0 y elige la dirección. En la campana de H0, la cola sombreada es donde caería un resultado sorprendente. Dos lados quieren decir las dos colas, y una prueba de un lado mira una sola cola. Qué lado sospechas tiene que fijarse antes de ver los datos, o no es justo. Fija primero la dirección. El lado forma parte de la afirmación y tiene que quedar fijo.
Puesta la hipótesis, los datos tienen que resumirse en un número y colocarse sobre la campana de H0. Ese número es el estadístico de prueba. Aquí la media muestral x̄ se estandariza. z = (x̄ − μ0) / SE. El sentido es simple. A cuántos errores estándar SE está la media observada del valor de referencia μ0 de H0. Ese error estándar es el ancho de la distribución muestral de la lección anterior. Mueve la media observada y z se mueve sobre la campana estándar. Cuando z está cerca de 0 encaja con H0, y cuando z es grande, como 2 o 3, va a un lugar raro lejos del centro. Vuelve datos de cualquier unidad un solo z y todos se pueden comparar sobre la misma campana estándar. Unidades distintas, la misma campana.
Ahora vuelve la sorpresa un número. El valor p es la probabilidad de un resultado tan extremo como el observado, o más extremo, suponiendo que H0 es cierta. En el dibujo es el área de la cola bajo la campana de H0, fuera del estadístico observado. Empuja el valor observado hacia fuera y la cola se adelgaza y p se encoge. Un p pequeño quiere decir que en un mundo donde H0 es cierta estos datos casi no aparecen, y por eso sorprende tanto. Una cosa hay que clavar. El valor p no es la probabilidad de que H0 sea cierta. Es una probabilidad condicional que supone que H0 es cierta. Mezcla esa dirección y lees mal la estadística del todo. Es una probabilidad encima de un supuesto. Esa dirección importa.
Cuán pequeño es lo bastante pequeño. La línea fijada de antemano es el nivel de significación. A menudo se usan 0.10, 0.05 y 0.01. Sobre la campana de H0 ese nivel es la región de rechazo, el área de la cola tan extrema como para descartar H0, y el valor de la frontera es el valor crítico z*. La regla es simple. Si el estadístico observado pasa el valor crítico, esto es si p < α, rechaza H0, y si no lo pasa no puedes rechazar H0. Cambia el nivel y la línea crítica se mueve, y el veredicto se da la vuelta cuando el valor observado cruza esa línea. Cuanto menor el nivel, más alto el umbral del rechazo, y no puedes descartar la nula si el resultado no sorprende bastante. Así el nivel es el mango que fija de antemano la tasa de falsas alarmas que aceptaremos. Fija primero el umbral. El umbral va primero.
Dos errores se esconden en el veredicto. Un error de tipo 1 rechaza aunque H0 sea de hecho cierta, una falsa alarma, y su probabilidad es el nivel de significación, el área fuera del valor crítico en la campana H0. Un error de tipo 2 no descarta H0 aunque H1 sea de hecho cierta, un fallo, y su probabilidad es el área dentro del valor crítico en la campana H1. Alterna los dos errores y crece el efecto real y la corriente se ve. Cuanto mayor el efecto, más se aleja a la derecha la campana H1, el fallo se encoge y la potencia (1 − β) crece. La potencia es la probabilidad de atrapar un efecto cuando de verdad está. Encoge las falsas alarmas y crecen los fallos. Ese trueque está ahí. Así que crecer la muestra y encoger el error estándar es el camino recto para encoger los dos errores a la vez. La muestra aprieta los dos errores juntos. Los dos errores se sientan sobre el mismo veredicto, y la muestra es lo que los aprieta a la vez.