Añade un margen a una estimación y obtienes un intervalo de confianza
Una estimación puntual de una muestra es un solo número, así que casi con seguridad se desvía un poco de la verdad. Un intervalo de confianza admite esa incertidumbre rodeando la estimación con un margen de error, dando el rango estimación más o menos z*SE. Lo sutil es la lectura: el 95% de confianza no es una afirmación sobre este único intervalo, sino sobre la fracción de veces que el procedimiento atrapa el valor real cuando se repite el muestreo. El parámetro es fijo; lo aleatorio es el intervalo. A lo largo de cinco figuras construimos el intervalo a partir de un margen, vemos que el 95% de los intervalos repetidos cubren el valor real, cambiamos confianza por anchura, encogemos el margen como 1/sqrt(n) y separamos la lectura correcta de un error común.
Un intervalo de confianza parte de la estimación puntual y añade un margen de error a cada lado. El margen es z*SE, y el multiplicador z viene del nivel de confianza: 90% da z = 1.645, 95% da z = 1.96 y 99% da z = 2.576. Cambia el nivel de confianza abajo y el corchete crece alrededor de la misma estimación, mientras el valor real fijo se queda exactamente donde estaba.
Esta imagen es lo que el 95% significa de verdad. Cada muestra da una estimación distinta, así que el intervalo cambia cada vez. Extrae muchos y cerca del 95% cubren el valor real fijo, mientras que los que fallan se dibujan en rojo. Cuanto más extraes, más se acerca la cobertura observada al nivel de confianza. El valor real nunca se movió; los intervalos sí.
Más confianza no es gratis. Para cubrir el valor real con más frecuencia, hay que lanzar una red más amplia. Subir el nivel sombrea un área central mayor bajo la curva y a la vez estira el ancho del intervalo 2*z*SE. La banda del 95% y la del 99% difieren de forma notable, y este intercambio no se puede evitar.
El margen es z*sigma/sqrt(n), así que una muestra mayor lo reduce, pero solo a un ritmo de 1/sqrt(n). Este es el mismo error estándar que viste en la distribución muestral. Para duplicar la precisión, es decir, reducir el margen a la mitad, hay que cuadruplicar la muestra. Los rendimientos decrecientes están en la fórmula desde el principio.
El último paso es una lectura cuidadosa. La afirmación, al repetir este procedimiento atrapa el valor real el 95% de las veces, es correcta. Pero la afirmación, hay un 95% de probabilidad de que el valor real esté en este intervalo, es errónea. Una vez trazado el intervalo, el valor real fijo está dentro o no lo está. La probabilidad vive en el acto aleatorio de muestrear, no en un único intervalo que ya se ha realizado.