Teorema de Bayes
La probabilidad no es un número fijo. Cuando llega un dato nuevo, la probabilidad tiene que calcularse de nuevo al momento. Incluso una probabilidad de lluvia del 30% cambia en el instante en que ves una nube oscura. La probabilidad condicional y el teorema de Bayes son la aritmética de cómo cambia una probabilidad cuando se le pone una condición. Aquí se parte de la intuición de estrechar el espacio muestral, se sigue con Bayes actualizando una creencia, y se acompaña con el ojo la famosa paradoja de una prueba para una enfermedad rara. Una condición reescribe el número.
La probabilidad condicional es la probabilidad después de saber algo. Cuando sabes que un suceso ha ocurrido, el espacio muestral se estrecha a ese suceso, y la parte que el otro suceso ocupa dentro es la nueva probabilidad. Así que P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Enciende la condición y el denominador se encoge, y se ve cómo cambia la probabilidad. Saber estrecha el espacio.
El teorema de Bayes es la herramienta que da la vuelta a una probabilidad condicional. Multiplica cuánto creías la hipótesis al principio por cuánto encaja la evidencia con esa hipótesis, y obtienes la creencia después de ver la evidencia. En símbolos, P(H|E) = P(E|H)P(H)/P(E). Empuja la creencia inicial y el encaje de la evidencia, y la actualización de la creencia se sigue tal cual. Darle la vuelta repara la creencia.
Incluso una prueba muy exacta cae en una trampa cuando la enfermedad es rara. Las personas sanas superan de lejos a las enfermas, así que aunque solo una fracción minúscula de ellas dé un falso positivo, ese número supera a los pacientes verdaderos. Así que incluso cuando la prueba es positiva, la probabilidad de tener de verdad la enfermedad se mantiene baja. Este es el ejemplo clásico donde el teorema de Bayes se muestra tal cual. Un suceso raro engaña a la prueba.
Un árbol de probabilidad dibuja, como ramas, un proceso en el que los sucesos ocurren por etapas. Multiplica las probabilidades de las ramas a lo largo de un camino y obtienes la probabilidad conjunta de ese final. La segunda bifurcación es condicional, así que su valor cambia con el resultado de la etapa anterior. Suma las probabilidades de todas las hojas y la suma es siempre exactamente 1. La suma de las hojas llena el conjunto.
Dos sucesos son independientes cuando saber que uno ha ocurrido no cambia en nada la probabilidad del otro. Solo entonces vale P(A∩B) = P(A)P(B). Si uno está atado al otro, esta multiplicación se rompe. En área, se ve de un vistazo si el bloque real A∩B coincide con el rectángulo de puntos predicho por el producto, o si se desvía. Solo cuando el producto coincide son independientes.