Una condición cambia la probabilidad
Una probabilidad no es un número fijo. En el momento en que llega un dato nuevo, hay que volver a calcularla. Incluso un 30% de probabilidad de lluvia cambia en cuanto ves reunirse nubes oscuras. La probabilidad condicional y el teorema de Bayes son justamente la aritmética de cómo cambia una probabilidad cuando se le añade una condición. Aquí partimos de la intuición de reducir el espacio muestral, pasamos a Bayes actualizando una creencia, y llegamos a la famosa paradoja de las pruebas para una enfermedad rara, todo de forma visual.
La probabilidad condicional es la probabilidad después de que aprendes algo. Una vez que sabes que ocurrió el evento B, el espacio muestral se reduce a B, y la porción de A dentro de él se vuelve la nueva probabilidad. Por eso P(A|B) = P(A y B)/P(B). Activa B en la cuadrícula y observa cómo el denominador se reduce mientras la probabilidad cambia.
El teorema de Bayes es la herramienta para invertir un condicional. Multiplica cuánto creías en la hipótesis al principio (la previa) por cuán bien encaja la evidencia con ella (la verosimilitud), y obtienes tu creencia tras ver la evidencia (la posterior). Es decir, P(H|E) = P(E|H)P(H)/P(E). Desliza la previa y la verosimilitud para ver cómo se actualiza la creencia.
Incluso una prueba muy precisa cae en una trampa cuando la enfermedad es rara. Las personas sanas superan con creces a las enfermas, así que aunque una fracción diminuta de ellas dé positivo por error, ese número puede superar a los verdaderos pacientes. Como resultado, la probabilidad de estar realmente enfermo dado un positivo se mantiene baja. Este es el caso clásico donde el teorema de Bayes muestra los dientes.
Un árbol de probabilidad dibuja un proceso paso a paso como ramas. Multiplica las probabilidades de las ramas a lo largo de un camino y obtienes la probabilidad conjunta de ese final. La segunda bifurcación es condicional, así que sus valores dependen del resultado anterior. Suma las probabilidades de todas las hojas y siempre dan exactamente 1.
Dos eventos son independientes cuando saber que uno ocurrió no cambia en nada la probabilidad del otro. Solo entonces se cumple P(A y B) = P(A)P(B). Si son dependientes, esa multiplicación se rompe. Vistos como áreas, puedes juzgarlo de un vistazo según si el bloque real de A y B coincide con el rectángulo punteado predicho por el producto o se desvía de él.