Banda prohibida

Lo que separa conductores, semiconductores y aislantes es la banda prohibida E_g, la anchura de energía entre el techo de la banda de valencia y el fondo de la banda de conducción. Se mide en electronvoltios (eV) y siempre lleva el subíndice g para no confundirla con el módulo elástico ni con el campo eléctrico, que usan la misma letra E. Con una banda de 0 las dos bandas se tocan y los electrones se mueven con libertad, lo que da un conductor; hacia 1,1 eV, como en el silicio, el calor basta para que algunos electrones salten, lo que da un semiconductor; por encima de 4 eV, como en el diamante, el sólido es aislante. En la figura de abajo E_g va de 0 a 10 eV: la banda de valencia se queda en su sitio, solo la banda de conducción vacía se aleja hacia arriba, y la longitud de la flecha dorada es la propia E_g.

De dónde salen las bandas se ve al aumentar el número de átomos N en la figura de abajo. Con un solo átomo, el electrón solo tiene dos niveles nítidos. Cuando N átomos se acercan, el principio de exclusión de Pauli impide que sus electrones compartan el mismo nivel, de modo que cada nivel se desdobla en N niveles con energías ligeramente distintas. Al subir N hasta 30, las líneas se apiñan cada vez más hasta parecer una sola banda continua, y entre la banda superior y la inferior sigue abierta la banda prohibida E_g, marcada en dorado. Un sólido real contiene más de 10²² átomos en 1 cm³, así que las líneas no se pueden distinguir una a una y la banda se trata como continua.

Ahora toca llenar las bandas de electrones. Los electrones ocupan primero las energías más bajas, y cuántos lugares hay en cada energía lo fija la densidad de estados S(E). Aquí S(E) cuenta estados por unidad de energía (estados/eV) y no tiene nada que ver con la entropía termodinámica S (J/K). La curva de la figura de abajo tiene la forma S(E) = √E, y el área dorada bajo ella es el número de electrones. El borde superior de la zona llena es el nivel de Fermi E_F; al subir E_F con el control desde 0,5 eV hasta 5 eV, el área sombreada crece. Al aumentar la temperatura T, el borde cerca de E_F se difumina y el escalón nítido se convierte en una pendiente suave.

En un semiconductor puro, llamado intrínseco, E_F queda justo en el centro de la banda prohibida y aparecen muy pocos electrones y huecos, en igual número. Dopar consiste en añadir una cantidad muy pequeña de impurezas. En el tipo n se añade un elemento con un electrón de más, como el fósforo, que crea un nivel donante justo debajo de la banda de conducción; E_F sube y los portadores mayoritarios son electrones. En el tipo p se añade un elemento con un electrón de menos, como el boro, que crea un nivel aceptor justo encima de la banda de valencia; E_F baja y los portadores mayoritarios son huecos. Los tres botones de la figura de abajo cambian entre intrínseco, tipo n y tipo p, y el nivel de impurezas punteado y la línea dorada de E_F se mueven juntos. Una unión de material tipo n y tipo p es un diodo, y los transistores funcionan gracias a ese mismo desplazamiento de E_F.

Si hay o no una banda prohibida se nota en la conductividad cuando sube la temperatura. La figura de abajo representa la conductividad eléctrica frente a la temperatura T con dos curvas. En un metal los electrones ya son libres, así que al subir la temperatura chocan más a menudo con las vibraciones de la red y la conductividad cae aproximadamente como 1/T. En un semiconductor, al subir la temperatura hay más electrones con energía térmica suficiente para cruzar la banda prohibida E_g, el número de portadores crece como exp(-E_g/2kT) y la conductividad aumenta. Al mover T con el control, dos puntos se desplazan sobre la línea vertical discontinua, uno por la curva del metal y otro por la del semiconductor. Que las dos curvas vayan en sentidos opuestos es una prueba directa de que el semiconductor tiene banda prohibida; la gráfica es un esbozo normalizado para poder comparar las dos formas.