El cortante en una sección de viga es máximo en el eje neutro
En C1 hallaste el cortante V de la viga. Pero esa V es solo la resultante que carga toda la sección; cómo se reparte el cortante dentro de la sección es otra cuestión, y espera una respuesta contraintuitiva. El esfuerzo de flexión era máximo en la superficie. El cortante es lo opuesto: cero en la superficie y máximo en el eje neutro, en el medio. Y su distribución no es una recta sino una parábola. ¿Por qué sale así? El núcleo es que las capas dentro de una viga intentan deslizar horizontalmente unas sobre otras. Lo que resiste ese deslizamiento es un cortante horizontal, y la fórmula que da su tamaño es τ = VQIt. Aquí aparece un nuevo invitado, Q, y es lo que da forma a la distribución.
Primero, por qué surge un cortante horizontal. Apila varias tablas delgadas sueltas, colócalas como una viga y presiona: ¿qué pasa? Cada tabla se flexiona por su cuenta y se escalonan en los extremos, deslizando en una escalera. La capa de arriba desliza hacia adelante, la de abajo hacia atrás. Eso prueba que la flexión crea inherentemente un deslizamiento horizontal entre las capas. Ahora imagina pegar esas tablas firmemente. Ya no pueden escalonarse. En cambio, el pegamento, es decir, el interior de la sección, tiene que asumir esa tendencia a deslizar. Eso es exactamente el esfuerzo cortante horizontal. Alterna entre las tablas apiladas y la viga pegada. Dentro de la viga pegada corre un cortante horizontal que impide el deslizamiento.
La fórmula que da el tamaño de ese cortante horizontal es τ = VQIt. Aquí se esconde un hecho elegante: en cualquier punto, la tendencia a deslizar horizontalmente y la tendencia a deslizar arriba y abajo en una cara vertical son siempre iguales. Esto se llama cortante complementario. Así que esta sola fórmula da también el cortante en la sección transversal. V es la fuerza cortante de la sección que hallaste en C1, I es el segundo momento de área, y t es el ancho de la sección a esa altura. Arrastra V. Toda la distribución escala en proporción a V: el doble de fuerza cortante, el doble de cortante. La forma se mantiene mientras solo cambia el tamaño. Lo que fija esa forma es la pieza restante, Q.
Q es el primer momento de área. El nombre suena difícil, pero el sentido es simple. A la altura donde quieres el esfuerzo, corta la sección horizontalmente y toma solo el área por encima de esa línea de corte. Multiplica esa área por la distancia de su centroide al eje neutro, y obtienes Q. Q = A′·ȳ′. Arrastra la línea de corte. Corta cerca de arriba y el área por encima es casi nada, así que Q es casi cero. Baja al eje neutro y el área por encima es la mitad de la sección, con un buen brazo, así que Q llega a su máximo. Así que Q es máximo en el eje neutro y cero en las superficies. En τ = VQIt, V e I son fijos para toda la sección, y t es constante para un rectángulo, así que la forma de la distribución del cortante la fija enteramente Q.
Ahora dibuja la distribución. Como Q es máximo en el eje neutro y cero en las superficies, el cortante en una sección rectangular es una parábola: máximo en el eje neutro central, cayendo suave a cero hacia las superficies de arriba y abajo. Arrastra la sonda arriba y abajo para leer esa parábola. Compararlo con la flexión lo fija. El esfuerzo de flexión σ era lineal en la profundidad, máximo en la superficie, cero en el eje neutro. El cortante τ es lo opuesto: parabólico, máximo en el eje neutro, cero en las superficies. Así que incluso en la misma viga, dónde está en riesgo difiere. La flexión amenaza las fibras externas, el cortante la zona cerca del eje neutro. Normalmente una viga larga la gobierna la flexión, una corta y robusta el cortante.
Todo esto explica por qué una viga en I tiene la forma que tiene. En τ = VQIt, t está en el denominador, así que el cortante se dispara donde la sección es estrecha. Una viga en I tiene un alma delgada en el medio y alas anchas arriba y abajo. Arrastra V para ver la distribución. Por el ala ancha t es grande y τ pequeño, y en cuanto entras en el alma delgada t cae bruscamente y τ salta. Así que el cortante lo lleva casi por completo el alma. El esfuerzo de flexión, en cambio, lo manejan las alas lejos del eje neutro. La división del trabajo es perfecta: las alas toman la flexión, el alma el cortante. Por eso en el diseño de vigas en I el alma se revisa por cortante y las alas por flexión. Una sola sección contiene dos lecciones a la vez.