Tuerce un eje y el cortante crece con el radio
El eje motriz de un coche, un tornillo que aprietas con un destornillador, el eje de un generador. Estos no se tiran; se tuercen. ¿Qué pasa dentro de un eje al torcerlo? La historia de tracción que viste antes se repite casi al pie de la letra, con una diferencia decisiva: en torsión el esfuerzo varía con la posición. El eje central apenas se mueve, mientras que la superficie exterior se tuerce más. El esfuerzo cortante crece en proporción directa al radio. τ = TρJ dice justo eso. Y el ángulo de torsión es φ = TLGJ, un gemelo de la δ = PLAE de B1 con solo las letras cambiadas. Este hecho, la dependencia del radio, hasta explica por qué puedes vaciar un eje pesado.
Primero, mira qué es torcer. Fija un extremo y aplica un par T en el otro para torcerlo. Las secciones giran entonces unas respecto a otras. El extremo fijo se queda quieto mientras el libre gira más. La diferencia de giro entre los extremos es el ángulo de torsión φ. Observa la recta dibujada a lo largo de la superficie: cuanto más tuerces, más se inclina en espiral. La clave es que la sección misma queda plana y conserva su forma redonda. Una sección circular simplemente gira en su sitio, sin alabearse ni distorsionarse. Este comportamiento limpio es lo que permite que la torsión se reduzca a una fórmula muy simple.
Ahora la idea clave. Que toda una sección gire significa que cuanto más lejos del centro, más se mueve un punto. Para el mismo ángulo de giro, un punto a mayor radio recorre un arco más largo. Así que la deformación cortante γ es directamente proporcional al radio ρ: cero en el eje central, máxima en la superficie. En el widget, aumenta la torsión. La línea central queda tendida, mientras que las líneas más externas se inclinan más. Esto es todo lo que es la torsión: la deformación se distribuye linealmente con el radio. En tracción toda la sección se estiraba por igual, pero la torsión varía con la posición. Es justo esta diferencia la que fija la distribución de esfuerzo a continuación.
Si la deformación cortante es proporcional al radio, entonces por la ley de Hooke τ = G·γ el esfuerzo cortante también lo es: cero en el centro, máximo en la superficie. Escrito como fórmula, τ = TρJ. Aquí T es el par aplicado, ρ es el radio del punto que te interesa, y J es una cantidad geométrica llamada momento polar de inercia. J ocupa el lugar del área A de la tracción, con una diferencia. A es solo área, pero J es área ponderada por el radio al cuadrado e integrada, así que el material exterior contribuye mucho más. Arrastra T. La distribución de esfuerzo brilla azul en el medio y roja en la superficie, creciendo linealmente como un triángulo. Por eso la falla por torsión siempre empieza en la superficie.
Ahora, cuánto gira todo el eje, el ángulo de torsión φ. Es φ = TLGJ. Ponlo al lado de la δ = PLAE de B1. La fuerza P se reemplaza por el par T, la longitud L se queda, el área A pasa a ser el momento polar de inercia J, y el módulo de Young E pasa a ser el módulo de cortante G. Una correspondencia perfecta uno a uno. Cuanto mayor el par y más largo el eje, más se tuerce; cuanto mayor GJ, menos. Por eso GJ se llama rigidez torsional. Arrastra T y el extremo libre gira φ. Igual que una barra en tracción era un resorte, un eje que se tuerce es un resorte torsional, que devuelve un ángulo por el par que aplicas.
Por último, la conclusión más útil en la práctica. Tanto el esfuerzo como la deformación eran casi cero cerca del centro. El material central apenas resiste la torsión mientras solo añade peso. ¿Y si lo vacías? Arrastra el radio interior para ahuecar el núcleo. El peso cae rápido, como el radio al cuadrado, pero la rigidez J cae lento, como el radio a la cuarta. Así que puedes vaciar bastante del centro y aun así conservar casi toda la rigidez torsional. La eficiencia por unidad de peso se dispara. Por eso los cuadros de bicicleta, los ejes motrices y los palos de golf son todos tubos huecos: igual de rígidos para el mismo peso, o la misma rigidez para menos peso. Es un regalo de la dependencia de la torsión con el radio.