Torsión de ejes
El eje de un coche, un tornillo apretado con un destornillador, el rotor de un generador. Estos no se tiran. Se tuercen. ¿Qué pasa dentro de un eje cuando lo tuerces? La historia de la tracción de antes se repite casi tal cual, con una diferencia decisiva. En torsión el esfuerzo no es el mismo en todas partes. El eje central apenas se mueve y la superficie de fuera se tuerce más, así que el esfuerzo cortante crece en proporción directa al radio. τ = TρJ dice eso. Y el ángulo de torsión es φ = TLGJ, un gemelo del δ = PLAE de B1 con solo las letras cambiadas. Esa sola dependencia del radio incluso explica por qué un eje pesado puede vaciarse por dentro. El radio es la razón de que el interior pueda vaciarse.
Primero, mira qué es la torsión. Fija un extremo y da un par T en el otro, y las secciones giran unas respecto de otras. El extremo fijo se queda quieto y el libre gira más, y la diferencia de giro de extremo a extremo es el ángulo de torsión. Una recta dibujada a lo largo de la superficie se inclina en una hélice a medida que crece la torsión. Lo que importa es que la sección misma se queda plana, y la forma redonda se queda como estaba. Una sección circular solo gira en su sitio. No se dobla ni se arruga. Por esta propiedad limpia, la torsión se recoge en una fórmula muy simple. Una sección circular solo gira, y por eso la fórmula se queda simple.
Ahora la idea central. Que la sección gire entera quiere decir que un punto más lejos del centro se mueve más. Aun para el mismo ángulo, un punto de radio mayor recorre un arco más largo. Así que la deformación angular es directamente proporcional al radio. En el centro la deformación es 0, y en la superficie es la mayor. Sube la torsión y la línea central sigue tumbada, mientras las líneas verticales de fuera se inclinan más. Eso es toda la torsión. La deformación se reparte de forma lineal a lo largo del radio. En tracción toda la sección se alargaba igual, pero la torsión difiere según el lugar, y esa diferencia fija la distribución de esfuerzo que sigue. El lugar, y no un estiramiento uniforme, fija lo que sigue.
Si la deformación angular es proporcional al radio, entonces por la ley de Hooke τ = G·γ el esfuerzo cortante también es proporcional al radio. 0 en el centro, el mayor en la superficie. Escrito como fórmula, τ = TρJ. T es el par de torsión, está el radio del lugar que miras, y J es un valor geométrico llamado momento polar de inercia de la sección. J ocupa el lugar del área A de la tracción, pero hay una diferencia. A es solo área, mientras J integra el área por el cuadrado del radio, así que el material de fuera contribuye mucho más. Mueve T y la distribución de esfuerzo se queda baja en el medio y alta en la superficie, creciendo de forma lineal como un triángulo. Una rotura por torsión empieza por eso siempre en la superficie.
Ahora cuánto gira el eje entero, el ángulo de torsión. φ = TLGJ. Ponlo junto al δ = PLAE de B1 y se ve la correspondencia. El par T ocupa el lugar de la fuerza P, la longitud L se queda, el momento polar J ocupa el lugar del área A, y el módulo de cortante G ocupa el lugar del módulo de Young E. Una correspondencia perfecta uno a uno. Un par mayor y un eje más largo tuercen más, y un GJ mayor tuerce menos. Así que GJ se llama la rigidez a torsión. Mueve T y el extremo libre gira ese ángulo. Igual que una barra en tracción era un resorte, un eje en torsión es un resorte de torsión que responde a un par con un ángulo.
Por último, la conclusión más útil en la práctica. Tanto el esfuerzo como la deformación eran casi 0 cerca del centro. El material del centro apenas resiste la torsión y solo añade peso. ¿Y si se vacía el interior? Mueve el radio interior y ahueca. El peso baja rápido con el cuadrado del radio, pero la rigidez J baja despacio porque va con la cuarta potencia del radio. Así puedes vaciar bastante el medio y la rigidez a torsión se queda casi como estaba, mientras la eficiencia por peso salta. Los cuadros de bicicleta, los ejes de transmisión y los palos de golf son tubos huecos por esta razón. Más rígido para el mismo peso, o más ligero para la misma rigidez. Un regalo de la dependencia de la torsión respecto del radio. El radio es el regalo.