Esfuerzos principales
En D1, girar el elemento hacía que el esfuerzo normal y el cortante se mecieran juntos. Dentro de ese vaivén había un ángulo muy especial. El ángulo donde el esfuerzo cortante es exactamente 0. Esa cara es un plano principal, y el esfuerzo normal sobre ella es un esfuerzo principal. En ese mismo ángulo el esfuerzo normal es el mayor. El esfuerzo principal mayor σ1 y el menor σ2, estos dos números son los dos extremos del esfuerzo que un punto debe soportar. Un estado de esfuerzo que se mecía de forma complicada se comprime, al final, en estos dos valores. Gira exactamente 45 grados desde ahí y el cortante es máximo, y eso es el cortante máximo. Esta lección reúne ese vaivén en fórmulas, y sigue hasta por qué un material se rompe en esa dirección. Si la cara gira, los valores que el punto soporta giran con ella.
Primero, fija dónde están los ejes principales. Un plano principal es una cara donde el cortante es 0, así que pon τ′ de la transformación en 0 y resuelve el ángulo. Entonces sale tan2θp = 2τxy(σx−σy), y este ángulo es la dirección de los ejes principales. Lo que importa es que los ejes principales no están fijos. Giran junto con el estado de esfuerzo. Sube el cortante y los ejes principales se inclinan más y más, y si el cortante es 0 los ejes principales son simplemente los ejes x e y tal cual. Los ejes principales son la dirección natural que el estado de esfuerzo se fija solo. Las coordenadas en las que el esfuerzo de un punto se ve más simple, la dirección donde el cortante desaparece y solo quedan empujar y tirar.
Ahora los valores de los esfuerzos principales. Mete el ángulo principal en la transformación y sale una forma sorprendentemente limpia. σ1,2 = (σx+σy)2 ± R. Dos valores abiertos a cada lado del promedio (σx+σy)2 por el radio R. Aquí R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²). Mueve el cortante y el promedio se queda quieto mientras R crece, y σ1 y σ2 se alejan del promedio a cada lado. Tiene sentido. Un cortante grande quiere decir un estado de esfuerzo áspero, y el ancho de los esfuerzos principales se ensancha otro tanto. Esta estructura de un promedio ± un radio parece conocida. Dos puntos a un radio de un centro, y eso lleva directo al círculo de Mohr de la próxima lección. Un ancho mayor quiere decir un estado más áspero en ese punto, y el dibujo lo muestra de un vistazo.
Hallado el plano principal, el plano de cortante máximo sale gratis. Siempre está exactamente a 45 grados de un plano principal. El elemento de la izquierda es el principal. No hay flechas de cortante, y solo σ1 y σ2 empujan y tiran de las caras. El de la derecha es el elemento de cortante máximo girado 45 grados desde ahí, y tiene flechas grandes de cortante mientras el esfuerzo normal de las dos caras iguala el promedio (σx+σy)2. El tamaño de ese cortante máximo es τmax = R = (σ1−σ2)2, el ancho de los esfuerzos principales partido por la mitad. Mueve el cortante y los dos elementos crecen juntos. El esfuerzo en un punto tiene dos caras. El plano principal, donde el cortante desaparece y el esfuerzo normal es extremo, y el plano de cortante máximo, a 45 grados, donde el cortante es extremo. Las dos caras pertenecen al mismo punto.
Por qué importa se ve claro cuando lleva a la falla. Cada material tiene una debilidad distinta. Un material frágil como la tiza o el hierro fundido es débil al tirón, esto es a la tracción normal. Así que se parte perpendicular al esfuerzo principal mayor σ1, y una probeta de tracción se quiebra recta a través del eje. Un material dúctil como el acero cede primero al deslizamiento, esto es al cortante. Así que desliza y se rompe a lo largo del plano de cortante máximo, una cara inclinada 45 grados desde un plano principal. Cambia los dos con el botón y, bajo la misma tracción, la dirección de la cara rota cambia del todo. Así que hay que hallar tanto el esfuerzo principal σ1 como el cortante máximo. Cuál es peligroso lo decide el material, así que uno frágil se compara en σ1 y uno dúctil en el cortante máximo. Primero se mira el lado débil del material, y después se compara el límite.
Por último, reúne todo en una página. Dados los tres esfuerzos, halla primero el radio R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²). Entonces los esfuerzos principales son σ1,2 = (σx+σy)2 ± R, el ángulo principal es tan2θp = 2τxy(σx−σy), y el cortante máximo es τmax = R. Estas cuatro líneas resuelven del todo el estado de esfuerzo en un punto. Mueve el cortante y mira los cuatro valores moverse juntos, y se ve que R es la cantidad que ata todo. Cuando R crece, el ancho de los esfuerzos principales y el cortante máximo crecen juntos. Memorizadas, estas fórmulas tropiezan en signos y ángulos. Así que la próxima lección vuelve estas cuatro líneas un solo dibujo, el círculo de Mohr. Un círculo de radio R alrededor del promedio, sobre el cual toda transformación es simplemente una rotación. Cuatro líneas reúnen la respuesta de un punto, y el dibujo deja ver cómo se mueven juntas.