El esfuerzo normal en la cara de cortante cero es el esfuerzo principal
En D1 viste σ y τ oscilar juntos al rotar el elemento. Entre ellos había un ángulo muy especial: aquel donde el esfuerzo cortante τ es exactamente cero. Esa cara se llama plano principal, y el esfuerzo normal sobre ella es un esfuerzo principal. ¿Por qué importa? En ese ángulo el esfuerzo normal alcanza su mayor valor. El mayor esfuerzo principal σ1 y el menor σ2, estos dos números son los extremos de esfuerzo que el punto debe soportar. Todo el complicado estado de esfuerzo oscilante se comprime a solo estos dos valores. Y exactamente a 45 grados de ahí el cortante está en su máximo, que es τmax. En esta lección ordenamos esos esfuerzos principales, el ángulo principal y el cortante máximo en fórmulas limpias, y lo llevamos hasta por qué un material se rompe en esa dirección.
Primero, fija dónde está el eje principal. Un plano principal es uno donde el cortante es cero, así que pon τ′ en la ecuación de transformación a cero y despeja el ángulo. Eso da tan2θp = 2τxy(σx−σy). Este ángulo θp es la dirección principal. Lo importante es que el eje principal no es fijo; gira con el estado de esfuerzo. Arrastra τxy. Al crecer el cortante, el eje principal se inclina más. Con cortante cero, el eje principal son los ejes x e y tal cual. Así que el eje principal es la dirección natural que el estado de esfuerzo elige para sí, el sistema de coordenadas en que el esfuerzo de un punto se ve más simple, donde el cortante desaparece y solo quedan empuje y tirón.
Ahora los valores de los esfuerzos principales. Poner θp en la ecuación de transformación y simplificar da una forma sorprendentemente limpia: σ1,2 = (σx+σy)2 ± R. Dos valores centrados en el promedio (σx+σy)2, separados a cada lado por un radio R. Aquí R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²). Arrastra τxy. El promedio se queda quieto mientras R crece, y σ1 y σ2 se alejan mucho del promedio a cada lado. Tiene sentido intuitivo: un cortante grande significa que el punto está en un estado de esfuerzo más áspero, y los esfuerzos principales se separan más para corresponder. Esta estructura de promedio más o menos un radio, ¿no te resulta familiar? Dos puntos a un radio de un centro. Esto lleva directo al círculo de Mohr de la próxima lección.
Una vez que tienes los planos principales, el plano de cortante máximo viene gratis: siempre está exactamente a 45 grados del plano principal. En el widget, el elemento de la izquierda es el principal. No tiene flechas de cortante; solo σ1 y σ2 empujan y tiran de sus caras. El de la derecha es ese rotado 45 grados, el elemento de cortante máximo. Aquí hay flechas de cortante grandes, y el esfuerzo normal en ambas caras es el mismo valor promedio (σx+σy)2. El tamaño de ese cortante máximo es τmax = R = (σ1−σ2)2, la separación de los esfuerzos principales partida a la mitad. Arrastra τxy y los dos elementos crecen juntos. En resumen, el esfuerzo en un punto tiene dos caras: el plano principal donde el cortante desaparece y el esfuerzo normal es extremo, y el plano a 45 grados donde el cortante es extremo.
¿Por qué importa tanto? Llévalo hasta la falla. Distintos materiales tienen distintas debilidades. Un material frágil como la tiza o el hierro fundido es débil ante el tirón, es decir, la tracción normal. Así que se parte perpendicular al esfuerzo principal máximo σ1. Una probeta de tracción se rompe recto a través del eje. Un material dúctil como el acero, en cambio, cede primero al deslizamiento, es decir, al cortante. Así que se rasga deslizando por el plano de cortante máximo, la cara inclinada 45 grados del plano principal. Alterna entre los dos. Bajo la misma tracción, la orientación de la superficie de falla es completamente distinta. Por eso importa hallar tanto el esfuerzo principal σ1 como el cortante máximo τmax: cuál es peligroso lo decide el material. Para frágil, compara σ1 con el límite; para dúctil, compara τmax.
Por último, reúne todo en una sola tarjeta. Dados σx, σy, τxy, primero halla el radio R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²). Entonces los esfuerzos principales son σ1,2 = (σx+σy)2 ± R, el ángulo principal es tan2θp = 2τxy(σx−σy), y el cortante máximo es τmax = R. Solo estas cuatro líneas resuelven por completo el estado de esfuerzo en un punto. Arrastra τxy y mira los cuatro valores moverse juntos. R es la cantidad clave que ata todo: al crecer R, la separación principal y el cortante máximo crecen con él. Pero estas fórmulas, usadas de memoria, invitan a errores de signos y ángulos. Así que en la próxima lección convertimos estas cuatro líneas, en conjunto, en una sola imagen, el círculo de Mohr, un círculo centrado en el promedio con radio R, sobre el cual cada transformación se vuelve simplemente una rotación, una herramienta casi mágica.