El esfuerzo en un punto depende del ángulo desde el que lo miras
Hasta ahora siempre dividiste el esfuerzo en σ perpendicular a una cara y τ a lo largo de ella. Pero en qué dirección orientas esa cara, de hecho, depende de ti. En el mismísimo punto, inclina la cara a otro ángulo y los esfuerzos normal y cortante sobre ella cambian por completo. Suena raro pero es obvio: el esfuerzo solo se define respecto a una cara, y acabas de cambiar la dirección de la cara. Así que el estado de esfuerzo en un punto no es un solo número sino toda una familia que varía con el ángulo. Manejar esto es la transformación de esfuerzos. Rota el ángulo y σ y τ oscilan como seno y coseno, y entre ellos aparece un ángulo especial donde el cortante es cero. Ahí el esfuerzo normal es máximo, y esa es la dirección en que el material realmente se parte. Esta lección te muestra esa oscilación directamente.
La forma estándar de dibujar el estado de esfuerzo en un punto es el elemento de esfuerzo. Imagina un cuadrado diminuto alrededor de ese punto y marca los esfuerzos en sus cuatro caras con flechas. Las caras izquierda y derecha llevan el esfuerzo normal horizontal σx, las de arriba y abajo el normal vertical σy, y a lo largo de las caras corre el esfuerzo cortante τxy. Arrastra τ. Ves las flechas de cortante aparecer en las cuatro caras a la vez. El cortante nunca actúa en una sola cara, pues rompería el equilibrio; siempre viene en conjunto por las cuatro caras. Esto es el cortante complementario. Este pequeño elemento contiene todo el estado de esfuerzo en ese punto. Tres números, σx, σy, τxy, determinan por completo el esfuerzo plano.
Ahora el movimiento clave. Mirando el mismo punto, inclina solo el elemento. Arrastra θ y el cuadrado rota, y el esfuerzo normal σ′ y el cortante τ′ en las nuevas caras cambian juntos. El punto no cambia, solo cambió la dirección de las caras, y aun así los esfuerzos difieren. Esto confunde al principio, pero pensándolo es obvio: el mismo haz de fuerza se reparte en distintas proporciones de componentes perpendicular y paralela según cómo lo cortes. Cuanto más inclinada la cara, más roza la fuerza a través de ella, así que el cortante crece. Así que σ′ y τ′ son funciones del ángulo θ. Un punto no lleva un valor de esfuerzo sino todo un conjunto, uno distinto para cada ángulo de observación. Entonces preguntas naturalmente: ¿qué ángulo es el más peligroso?
Escribir esa oscilación como fórmulas da las ecuaciones de transformación: σ′ = (σx+σy)2 + (σx−σy)2·cos2θ + τxy·sin2θ, y τ′ = −(σx−σy)2·sin2θ + τxy·cos2θ. Parecen largas, pero el corazón es simple: ambas son seno y coseno de 2θ, ondas suaves. Arrastra θ y los dos puntos en las curvas σ′ y τ′ se mueven juntos. Dos cosas a notar. Primero, es 2θ, no θ, así que el periodo es 180 grados, lo cual tiene sentido ya que rotar el elemento 180 grados lo devuelve a sí mismo. Segundo, el promedio de σ′, (σx+σy)2, no cambia sea cual sea θ; esta suma es una cantidad que se conserva bajo rotación. Una vez que tienes estas dos curvas, hallar el ángulo peligroso se vuelve leer los picos y los ceros de las curvas.
Al rotar el elemento, aparece un ángulo donde el esfuerzo cortante τ′ es exactamente cero. Esa cara se llama plano principal, y el esfuerzo normal sobre ella es un esfuerzo principal. Arrastra θ para llevar τ′ a cero. En ese instante las flechas de cortante del elemento desaparecen, y lo que queda es puro empuje y tirón. Y es justo en este ángulo donde el esfuerzo normal es máximo. El mayor esfuerzo principal σ1 y el menor σ2 salen en estas caras. Por qué importa: un material suele partirse perpendicular a este esfuerzo principal máximo. Cuando tuerces un trozo de tiza para romperlo, la sección se rasga en una espiral inclinada, y esa espiral sigue los planos principales. Así que para predecir la falla, la primera tarea es hallar σ1 y su dirección, el esfuerzo principal y el ángulo principal.
Ahora lo opuesto: halla el ángulo donde el esfuerzo cortante es mayor. Arrastra θ y tantea dónde τ′ llega a su pico, y está exactamente a 45 grados del plano principal. Siempre. El plano de cortante máximo está a 45 grados del plano principal. Y el tamaño de ese cortante máximo es la mitad de la diferencia de los dos esfuerzos principales, τmax = (σ1−σ2)2. Por qué importa: un material dúctil como el acero cede al cortante antes que al esfuerzo normal. Así que al tirar de una probeta de tracción, desliza y se estira a lo largo de caras inclinadas 45 grados, no por una sección transversal limpia. Esas bandas inclinadas son la huella dejada a lo largo de los planos de cortante máximo. En resumen: en los planos principales el cortante es cero y el esfuerzo normal es extremo, y a 45 grados de ahí el cortante es extremo. Estos dos ángulos especiales son la conclusión de la transformación de esfuerzos.