Transformación de esfuerzo plano
Antes, el esfuerzo se partió en lo perpendicular a una cara y lo que va a lo largo de la cara. Hacia dónde pones esa cara es en realidad una elección. En el mismo punto, gira la cara al sesgo y el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante sobre ella cambian del todo. Suena raro y es natural. El esfuerzo solo se define cuando hay una cara, y se cambió la dirección de la cara. Así que el estado de esfuerzo en un punto no es un número. Es un conjunto que cambia con el ángulo. Manejar eso es la transformación del esfuerzo. Gira el ángulo y el esfuerzo normal y el cortante se mecen como un seno, y entre ellos aparece un ángulo especial donde el cortante es 0. Ahí el esfuerzo normal es el mayor, y esa dirección es donde el material se parte de verdad. Esta lección muestra ese vaivén directamente. La dirección de la grieta es ese ángulo especial, y por eso importa.
La manera estándar de dibujar el estado de esfuerzo en un punto es el elemento de esfuerzo. Imagina un cuadrado muy pequeño alrededor del punto y marca los esfuerzos de las cuatro caras con flechas. Las caras de izquierda y derecha llevan un esfuerzo normal horizontal, las de arriba y abajo un esfuerzo normal vertical, y un esfuerzo cortante desliza a lo largo de las caras. Mueve el cortante y las flechas de cortante aparecen en las cuatro caras a la vez. El cortante nunca actúa en una sola cara. El equilibrio se rompería. Siempre viene en pareja, en las cuatro caras juntas, el cortante complementario. Este único elemento pequeño guarda el estado de esfuerzo entero del punto. Tres números deciden un esfuerzo plano por completo. Tres números fijan un punto, y las flechas los muestran.
Ahora el corazón. Mira el mismo punto y solo gira el elemento al sesgo. Mueve el ángulo y el cuadrado rota, y el esfuerzo normal σ′ y el esfuerzo cortante τ′ de las caras nuevas cambian juntos. El punto es el mismo y solo cambió la dirección de la cara, y aun así el esfuerzo cambia. Confunde al principio y, pensado, es natural. El mismo haz de fuerza, cortado por una cara de otra dirección, se parte en componente normal y paralela en otra razón. Cuanto más sesgada la cara, más la fuerza la roza de lado y más crece el cortante. Así que σ′ y τ′ son funciones del ángulo. Un punto no tiene un solo valor de esfuerzo. Tiene un conjunto distinto para cada ángulo desde el que miras. Entonces la pregunta natural es qué ángulo es el más peligroso. La dirección de la cara reparte las componentes. El punto es el mismo y la cara cambia la respuesta.
Escribe ese vaivén como fórmula y es la transformación del esfuerzo. σ′ = (σx+σy)2 + (σx−σy)2·cos2θ + τxy·sin2θ, y τ′ = −(σx−σy)2·sin2θ + τxy·cos2θ. Parece larga y el corazón es simple. Las dos son senos y cosenos de 2θ, ondas suaves. Mueve el ángulo y los dos puntos de la curva σ′ y de la curva τ′ se mueven juntos. Dos cosas a notar. Primera, entra 2θ y no el ángulo mismo, así que el periodo es 180 grados. Gira el elemento 180 grados y está en casa otra vez, lo que es natural. Segunda, el promedio de σ′, (σx+σy)2, no cambia sea cual sea el ángulo. Esta suma es una cantidad que se conserva al rotar. Con solo estas dos curvas en la mano, hallar el ángulo peligroso es leer los picos y los ceros de las curvas.
Gira el elemento y aparece un ángulo donde el esfuerzo cortante τ′ es exactamente 0. Esa cara es un plano principal, y el esfuerzo normal sobre ella es un esfuerzo principal. Mueve el ángulo hasta que τ′ se siente en 0, y en ese instante las flechas de cortante desaparecen y lo que queda es un puro empujar y tirar. En este mismo ángulo el esfuerzo normal es el mayor. El esfuerzo principal mayor σ1 y el menor σ2 salen en estas caras. Importa porque un material suele partirse perpendicular a la dirección de este esfuerzo principal mayor. Tuerce una tiza hasta romperla y la sección se parte en una hélice sesgada, que es la rotura siguiendo un plano principal. Para predecir la falla, hallar σ1 y su dirección, el esfuerzo principal y el ángulo principal, es el primer trabajo. La dirección de la grieta es ese ángulo, y hallarlo es el primer trabajo.
Ahora, al revés, halla el ángulo donde el esfuerzo cortante es el mayor. Mueve el ángulo y tantea dónde τ′ es máximo, y es exactamente 45 grados girado desde un plano principal. Siempre es así. El plano de cortante máximo difiere de un plano principal en 45 grados. El tamaño de ese cortante máximo es la mitad de la diferencia de los dos esfuerzos principales, τmax = (σ1−σ2)2. Importa porque un material dúctil como el acero cede al cortante antes de ceder al esfuerzo normal. Así que tira de una probeta de tracción y no desliza por una sección transversal limpia. Desliza y se alarga a lo largo de una cara inclinada 45 grados. Esas rayas sesgadas son la huella del plano de cortante máximo. En un plano principal el cortante es 0 y el esfuerzo normal es extremo, y a 45 grados de ahí el cortante es extremo. Estos dos ángulos especiales son la conclusión de la transformación del esfuerzo. Los dos ángulos son la conclusión de la transformación.