Círculo de Mohr

Primero, pasa el estado de esfuerzo a un punto. En un plano cuyo eje horizontal es el esfuerzo normal y cuyo eje vertical es el cortante, un par de esfuerzos de una cara se vuelve un punto. La cara x del elemento es (σx, τxy), y la cara y girada 90 grados desde ahí es (σy, −τxy). Mueve el cortante y los dos puntos suben y bajan, y siempre quedan uno frente al otro. La cara x y la cara y difieren 90 grados en el elemento, y en el plano quedan marcadas a 180 grados de distancia. Ya apareció un factor de 2. El segmento que une los dos puntos es el diámetro del círculo. Ver un estado de esfuerzo como un lugar en un plano, y no como un manojo de números, es el primer salto de Mohr. Los dos puntos fijan el diámetro. Ya.

Ahora gira el elemento poco a poco y sigue marcando (σ′, τ′) en cada ángulo. Mueve el ángulo y el punto no se dispersa. Avanza a lo largo de un solo círculo. Sea cual sea el ángulo del corte, ese esfuerzo cae en algún lugar de este círculo, y todo estado de esfuerzo posible en el punto cabe en este único círculo. El centro del círculo se sienta en el eje horizontal, en el promedio σ = (σx+σy)2. El promedio que en D1 no cambiaba con la rotación es exactamente ese centro. El radio es R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²), el mismo R de D2. La transformación que se mecía se comprime en un círculo de radio R alrededor del promedio. El círculo ocupa el lugar de la fórmula. El promedio sostiene el centro y el radio fija el tamaño del círculo.

El círculo de Mohr trae un acuerdo. Gira el elemento real un ángulo, y el punto del círculo gira el doble, 2θ. Gira el elemento de la izquierda y el punto del círculo de la derecha se mueve 2θ. La razón del doble es que la transformación era por completo una función de 2θ. Ese 2θ se vuelve un ángulo real de giro una vez que está sobre el círculo. Cumple este acuerdo y el círculo de Mohr es un transportador. Para saber el esfuerzo de una cara, mira cuánto giró esa cara desde la cara x, y lee el punto girado el doble de ese ángulo sobre el círculo. No hay signo que memorizar ni seno que memorizar. El giro se ve como giro. El doble del ángulo del elemento es el ángulo del círculo.

Ahora lee las respuestas en el círculo, empezando por los esfuerzos principales. El círculo encuentra el eje horizontal, la línea τ=0, en dos lugares. Son el extremo derecho y el extremo izquierdo del círculo, y el cortante allí es 0, así que esas caras son los planos principales. El esfuerzo normal del extremo derecho es el esfuerzo principal mayor σ1, y el extremo izquierdo es el menor, σ2. El centro es el promedio y el radio es R, así que σ1 = promedio + R y σ2 = promedio − R. Lo que D2 pedía memorizar como fórmula es, en el dibujo, simplemente los dos extremos del círculo. Lleva el punto a un extremo y, en el momento en que toca el eje horizontal, el cortante desaparece. Hallar los esfuerzos principales es marcar los dos puntos que llegan más lejos a izquierda y derecha en el círculo. Los dos extremos son los dos esfuerzos principales.

Lo último es el cortante máximo. El lugar donde el cortante es mayor en el círculo es la cima, y la altura hasta ella es exactamente el radio R. Así que el esfuerzo cortante máximo es τ_max = R. D2 tenía τ_max = (σ1−σ2)2, y como σ1−σ2 es el diámetro, su mitad es el radio, que dice lo mismo. En el dibujo basta medir el radio del círculo. La cima queda a 90 grados a lo largo del círculo desde los esfuerzos principales de los extremos. 90 grados en el círculo son la mitad en el elemento real, 45 grados, y esos 45 grados de D2 salen aquí solos. Pon el punto en la cima y la relación se muestra sola. El estado de esfuerzo en un punto es un círculo, los esfuerzos principales son los extremos izquierdo y derecho, el cortante máximo es la cima y el fondo, y girar el elemento es una rotación de 2 veces sobre el círculo. El círculo de Mohr vuelve toda la transformación de esfuerzo un solo dibujo. Un dibujo ocupa el lugar de la fórmula.