Un estado de esfuerzo es un círculo, rotar el elemento es girar sobre él
En D1 y D2 viste las ecuaciones de transformación y las fórmulas de esfuerzo principal. Son exactas, pero con seno, coseno y 2θ todos enredados, un signo mal revuelve la respuesta. Entonces en 1882 Otto Mohr notó algo maravilloso: todo ese conjunto complicado de fórmulas es en realidad un solo círculo. Grafica el estado de esfuerzo de un punto en el plano σ-τ, rota el elemento de un lado a otro, y grafica cada punto, y asombrosamente todos caen en un solo círculo. Ese es el círculo de Mohr. Su centro es el esfuerzo promedio, su radio es R. Esta sola imagen contiene cada respuesta de la transformación. Los esfuerzos principales están donde el círculo corta el eje horizontal en sus dos extremos, el cortante máximo es la cima del círculo, y rotar el elemento θ es ir 2θ alrededor del círculo. Sin memorizar fórmulas; solo dibuja el círculo y léelo.
Primero, lleva el estado de esfuerzo a un punto. Dibuja un plano cuyo eje horizontal es el esfuerzo normal σ y el vertical es el cortante τ. Entonces el esfuerzo (σ, τ) en una cara se vuelve un solo punto en este plano. La cara x del elemento es (σx, τxy), y la cara y, 90 grados después, es (σy, −τxy). Arrastra τxy. Los dos puntos suben y bajan, y si miras de cerca están siempre en lados exactamente opuestos. La cara x y la cara y están a 90 grados, y sin embargo en el plano se grafican a 180 grados. El duplicado ya está aquí. El segmento que une estos dos puntos será el diámetro del círculo. Ver el estado de esfuerzo como una posición en un plano en vez de un montón de números, este es el primer salto de Mohr.
Ahora se despliega la magia. Rota el elemento poco a poco y sigue graficando el (σ′, τ′) en cada paso. Arrastra θ. ¿A dónde va el punto? No se dispersa; viaja a lo largo de exactamente un círculo. Corta en cualquier ángulo y ese esfuerzo está en algún lugar de este círculo. Cada estado de esfuerzo posible en el punto está contenido en este solo círculo. El centro del círculo está sobre el eje horizontal, en σ = (σx+σy)2, el promedio. Ese promedio, que se mantuvo fijo bajo rotación en D1, es exactamente el centro. El radio del círculo es R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²), la misma R de D2. Las complicadas ecuaciones de transformación oscilantes se comprimen en un círculo, centrado en el promedio con radio R.
Aquí hay una promesa del círculo de Mohr: rota el elemento real por θ, y el punto en el círculo gira el doble de eso, 2θ. Rota el elemento de la izquierda por θ. El punto en el círculo de la derecha se mueve 2θ. ¿Por qué el doble? Porque las ecuaciones de transformación eran todas funciones de 2θ. En el círculo ese 2θ se vuelve un ángulo de rotación real. Cumple esta promesa y el círculo de Mohr es solo un transportador. Para hallar el esfuerzo en cualquier cara, mira cuántos grados está girada esa cara desde la cara x, y lee el punto rotado el doble de eso en el círculo. Sin signos, sin seno y coseno que memorizar. La rotación se vuelve rotación, ante tus ojos.
Ahora lee las respuestas del círculo. Primero, los esfuerzos principales. Hay dos lugares donde el círculo corta el eje horizontal, la línea τ=0: el extremo derecho y el extremo izquierdo del círculo. Ahí el cortante es cero, así que esos son los planos principales. El valor σ del extremo derecho es el esfuerzo principal máximo σ1, el extremo izquierdo es el mínimo σ2. Y como el centro es el promedio y el radio es R, naturalmente σ1 = promedio + R y σ2 = promedio − R. Lo que memorizaste como fórmula en D2 es, en la imagen, simplemente los dos extremos del círculo. Arrastra θ para llevar el punto a un extremo. En cuanto el punto toca el eje horizontal, el cortante desaparece. Hallar los esfuerzos principales no es más que marcar los dos puntos que llegan más a la izquierda y a la derecha en el círculo.
Lo último es el cortante máximo. ¿Dónde en el círculo es τ mayor? En la cima, claro. La altura hasta ahí es exactamente el radio R. Así que el cortante máximo τmax = R. En D2 escribimos τmax = (σ1−σ2)2, y como σ1−σ2 es el diámetro, la mitad es el radio, la misma afirmación. En la imagen solo mides el radio del círculo. Y la cima está a 90 grados de los extremos (los puntos principales) a lo largo del círculo. Noventa grados en el círculo es la mitad, 45 grados, en el elemento real. Los 45 grados de D2 salen aquí automáticamente. Arrastra θ para subir el punto a la cima. En resumen, el estado de esfuerzo en un punto es un círculo, los esfuerzos principales son sus extremos izquierdo y derecho, el cortante máximo es su cima y su base, y rotar el elemento es una rotación doble en el círculo. El círculo de Mohr es la herramienta que convierte toda la transformación de esfuerzos en una sola imagen.