Una columna esbelta se dobla antes de aplastarse
Hasta ahora hemos visto a los miembros cargar esfuerzo hasta que fluyen o se rompen. Pero una columna larga y esbelta falla de un modo completamente distinto. Para una regla de canto y presiónala desde arriba. Si presionas suave se mantiene recta, y luego en cierto momento la fuerza cruza un punto crítico y se pandea de golpe hacia un lado, aunque el esfuerzo no se haya acercado siquiera a la fluencia. Esto es pandeo. Colapsa no porque el material sea débil, sino porque el propio estado de estar recta se ha vuelto inestable. En 1744 Euler calculó esta carga crítica exactamente: Pcr = π²EI(KL)². Lo asombroso es que la resistencia del material no aparece en ella. Queda fijada solo por la rigidez EI, la longitud L, y cómo se sujetan los dos extremos (K). Veamos por qué una escalera alta, una columna delgada, una lata esbelta se pliegan de pronto, el límite de la estabilidad.
Primero, solo presiona una columna recta. Arrastra P. Hasta llegar al punto crítico la columna se mantiene recta y simplemente se acorta una cantidad mínima. Esta es la compresión axial que vimos en B1: se acorta δ = PLAE y no se curva de lado. El esfuerzo en la sección es uniforme, σ = PA, y no se ha acercado a la fluencia. Una columna corta y robusta aguantaría recta así hasta que el esfuerzo llegue a la fluencia y entonces se aplastaría. No ocurre pandeo. Así que la compresión en sí no es pandeo. El pandeo es el suceso en que una columna recta bajo compresión, en el instante en que pasa cierta carga, renuncia a estar recta y escapa hacia el lado. Dónde está ese umbral es la siguiente pregunta.
Ahora empuja la carga más allá del valor crítico. Arrastra P más allá de Pcr. ¿Qué pasa en el instante en que lo cruza? La columna recta se pandea de pronto hacia el lado como el arco de un arquero. Y subir P un poco más hace que la deflexión δ crezca rápido. Esto es lo que significa bifurcación. Bajo Pcr la forma recta es la única respuesta estable, pero sobre Pcr la forma recta se vuelve inestable y aparece de nuevo una forma curvada, como una bifurcación en el camino. ¿Por qué tan repentino? Cuando la columna se dobla un poco, la carga P crea un momento flector igual a la carga por esa distancia lateral, y ese momento dobla más la columna, y más flexión hace un momento mayor. El instante en que esta retroalimentación vence la rigidez restauradora del material es exactamente Pcr. Falla no porque el esfuerzo llegó a un límite, sino porque la estabilidad de la forma se vino abajo.
Esa carga crítica es exactamente la fórmula de Euler. Para una columna sostenida por articulaciones en ambos extremos, Pcr = π²EIL². Aquí EI es la rigidez a flexión: E es el módulo elástico del material, I es el segundo momento de área, la misma I que vimos en B3. EI dice cuánto resiste la columna a flexionarse. Pero la clave es el L² en el denominador. Arrastra L. Duplica la longitud y Pcr cae a una cuarta parte. La longitud devora la resistencia al pandeo como un cuadrado. Así que aun con la misma sección, una columna larga es miserablemente débil. Y una cosa más: la resistencia del material, como el esfuerzo de fluencia o último, no entra para nada en esta fórmula. Solo rigidez y longitud. El pandeo no es un problema de resistencia sino de rigidez y forma, y esta fórmula lo deja clavado.
¿Entonces qué columnas mueren por fluencia y cuáles por pandeo? El único número que lo decide es la relación de esbeltez λ = KLr. Aquí r es el radio de giro, r = √(I/A), que mide cuán eficientemente se reparte la sección. Reescrito como esfuerzo crítico, queda σcr = π²Eλ². Arrastra λ. Cuando λ es grande, es decir larga y esbelta, σcr es muy bajo, así que colapsa por pandeo antes de que el esfuerzo siquiera llegue a la fluencia. Cuando λ es pequeño, es decir corta y robusta, σcr es mayor que la resistencia de fluencia, así que fluye primero, antes de cualquier pandeo. La esbeltez de transición donde se cruzan las dos curvas, λ₁ = π√(E/σy), es la frontera. Por eso en diseño, al mirar una columna se revisa primero la esbeltez, porque si es larga o corta cambia por completo qué límite gobierna.
Por último, cómo sujetas los dos extremos cambia mucho la resistencia, y la K de la fórmula de Euler lleva eso. Elige las condiciones de extremo. Articulada-articulada da K=1, y esta es la referencia. Empotra un extremo por completo y deja el otro libre, como un asta de bandera, y K=2, así que para la misma longitud Pcr cae a un cuarto, el caso más débil. Al revés, empotra firmemente ambos extremos y K=0.5, así que Pcr salta a cuatro veces. Empotrada-articulada queda en medio, en K≈0.7. El significado de K es la longitud efectiva: la longitud real L por K, ese KL, es la longitud al reducirla a una columna articulada-articulada equivalente. Como K entra en Pcr = π²EI(KL)² al cuadrado, solo sujetar bien los extremos puede cambiar la resistencia al pandeo varias veces. Por eso el diseño de columnas debe mirar no solo la sección sino también las conexiones en ambos extremos juntas.