Pandeo de Euler
Hasta aquí un miembro fallaba al ceder o al romperse bajo el esfuerzo. Una columna esbelta falla de una forma completamente distinta. Pon una regla de pie y presiónala desde arriba. Bajo una presión leve se queda recta, y en el momento en que la fuerza cruza un umbral se dobla de pronto hacia un lado. El esfuerzo ni siquiera se ha acercado a la fluencia. Eso es el pandeo. El material no es débil. La forma recta misma se ha vuelto inestable, y eso es lo que se cae. En 1744 Euler escribió la carga crítica como una fórmula. Pcr = π²EI(KL)². Lo que sorprende es que la resistencia del material no entra en esta fórmula. Queda fijada solo por la rigidez EI, la longitud L y cómo se sujetan los dos extremos, es decir K. Esta lección mira el límite de la estabilidad, la razón por la que una escalera larga, una columna esbelta y una lata delgada se doblan de pronto. El umbral es esa estabilidad.
Primero, presiona sin más una columna que está recta. Mueve P y, hasta tocar el umbral, la columna sigue recta y solo su longitud se acorta un poco. Esta es la compresión axial vista en B1. Se acorta en δ = PLAE y no se dobla de lado. El esfuerzo en la sección también es uniforme, σ = PA, y no se ha acercado a la fluencia. Una columna corta y maciza seguiría recta y simplemente se aplastaría cuando el esfuerzo llega a la fluencia, y el pandeo no ocurriría. La compresión misma no es pandeo. El pandeo es el suceso en el que una columna recta bajo compresión, en el momento en que pasa cierta carga, abandona la rectitud y se escapa de lado. Dónde se sienta ese umbral es la pregunta siguiente. Mientras la rectitud se mantiene, solo es una compresión corta.
Ahora empuja la carga más allá del umbral. Mueve P más allá de Pcr y mira qué pasa. La columna que estaba recta se dobla de pronto de lado, como un arco. Sube P solo un poco más y la flexión crece rápido. Esto es una bifurcación. Por debajo de Pcr la forma recta es la única respuesta estable, pero una vez que la carga pasa Pcr la forma recta se vuelve inestable y aparece una forma doblada, como una bifurcación del camino. La razón de que sea de pronto es esta. Si la columna se dobla un poco, la carga P fabrica un momento flector a través de esa distancia lateral, ese momento dobla más la columna, y al doblarse más el momento vuelve a crecer. El instante en que esta realimentación vence la fuerza de recuperación del material es exactamente Pcr. La columna se cae porque se cae la estabilidad de la forma, no porque el esfuerzo haya llegado a un límite. En el momento en que la carga cruza el umbral, la rectitud deja de ser la respuesta.
Esa carga crítica es la fórmula de Euler. Para una columna articulada en los dos extremos, Pcr = π²EIL². Aquí EI es la rigidez a flexión. E es el módulo elástico del material, I es el momento de segundo orden de la sección, el mismo I visto en B3. EI dice cuánto resiste la columna a la flexión. El punto real es que L² está en el denominador. Estira L hasta el doble de la longitud y Pcr cae a la cuarta parte. La longitud recorta la resistencia al pandeo con su cuadrado. Así que la misma sección es penosamente débil en cuanto la columna es larga. Una cosa más. La resistencia de fluencia y la resistencia última, la resistencia del material, no entran en esta fórmula. Solo entran la rigidez y la longitud. La fórmula deja clavado que el pandeo es un problema de rigidez y de forma, no un problema de resistencia.
Qué columna muere por fluencia y cuál muere por pandeo. El número que las separa es la esbeltez λ = KLr. Aquí r es el radio de giro, una medida de cuán eficientemente se reparte la sección, y r = √(I/A). Escrito de nuevo como esfuerzo crítico, σcr = π²Eλ². Mueve la esbeltez y la separación se muestra sola. Cuando la esbeltez es grande, esto es cuando la columna es larga y delgada, el esfuerzo crítico es tan bajo que la columna pandea antes de que el esfuerzo llegue a la fluencia. Cuando la esbeltez es pequeña, esto es cuando la columna es corta y maciza, el esfuerzo crítico queda por encima de la resistencia de fluencia, así que la columna cede primero, antes del pandeo. La esbeltez de transición donde las dos curvas se encuentran, λ₁ = π√(E/σy), es esa frontera. En el diseño, lo primero que se lee de una columna es su esbeltez. Que la columna sea larga o corta decide qué límite manda. La esbeltez decide qué límite se llama.
Por último, cómo se sujetan los dos extremos cambia mucho la resistencia. La K de la fórmula de Euler carga con eso. Cambia la condición de extremo y la diferencia es clara. Pasador y pasador da K=1, y esa es la referencia. Fija un extremo del todo y deja el otro libre, como un asta de bandera, y K=2, así que para la misma longitud Pcr cae a 1/4. Ese es el caso más débil. Fija los dos extremos con firmeza y K=0.5, así que Pcr salta por un factor de cuatro, y fijo y pasador queda en medio, en K≈0.7. El sentido de K es una longitud efectiva. La longitud real L multiplicada por K, el producto KL, es la longitud contada como una columna de pasador y pasador. En Pcr = π²EI(KL)², K entra al cuadrado, así que solo sujetar bien los extremos cambia la resistencia al pandeo varias veces. El diseño de una columna tiene que mirar las uniones de los dos extremos junto con la sección. La unión parte la fuerza.