La deflexión es la curvatura M/EI integrada dos veces
Hasta ahora has preguntado si una viga se rompe, es decir, su resistencia. Pero no romperse no es todo. Un trampolín que rebota demasiado, o una viga de piso que se comba visiblemente, es inservible aunque nunca se rompa. Así que también hay que preguntar cuánto se flexiona de verdad la viga, su rigidez. Esa forma flexionada es la curva de deflexión, y el camino hacia ella es sorprendentemente simple. Como viste en B3, cuán pronunciadamente se curva una viga, su curvatura, es proporcional al momento ahí e inversamente proporcional a la rigidez a flexión: curvatura = MEI. Como la curvatura es la deflexión derivada dos veces, al revés, integrar MEI dos veces da la deflexión. Cada integración trae una constante, y esas las fijan las condiciones de borde que imponen los apoyos. Y cuando varias cargas actúan juntas, simplemente resuelves cada una por separado y sumas.
Primero, mira la deflexión en sí. Presiona el extremo de un voladizo fijo en un extremo. La viga se flexiona hacia abajo en una curva suave. Esta es la curva de deflexión y(x), que muestra cuánto ha bajado cada posición desde donde empezó. Presiona más fuerte y se comba más hondo. Dentro del rango elástico la deflexión también es proporcional a la carga, la ley de Hooke siguiendo hasta aquí. Para un voladizo con carga en el extremo, la deflexión del extremo es δ = PL³(3EI). Lo que hay que notar es la L³. Duplica la longitud y la deflexión crece ocho veces. Así que una viga más larga se comba mucho más, y en problemas de deflexión la longitud es la variable más temible.
Quita una capa de lo que la deflexión realmente es. Toma una sola rebanada de la viga flexionada y está curvada como un pequeño arco circular. Cuán pronunciadamente se curva es la curvatura κ, el recíproco del radio R. La relación clave está aquí: κ = MEI. Cuanto mayor el momento flector M ahí, más se curva; cuanto mayor la rigidez a flexión EI, menos. Arrastra M. Al crecer el momento, la rebanada se enrolla en un arco más cerrado. EI crece con una sección más profunda y un material más rígido, y para el mismo momento un EI grande apenas se curva. Donde el módulo de sección S era la estrella de la resistencia, EI es la estrella de la rigidez. Y la curvatura es la semilla misma de la deflexión: estos pequeños dobleces, fijados en cada lugar, se acumulan en toda la curva de deflexión.
Ahora apila esas pequeñas curvaturas en una deflexión. En matemáticas, la curvatura es la deflexión y derivada dos veces: EI·y″ = M. Así que ve al revés. Integra MEI una vez y obtienes la pendiente de la viga y′; intégrala otra vez y obtienes la deflexión y. Para un voladizo con carga en el extremo, el momento es lineal en la posición, así que MEI es lineal, la pendiente integrada una vez es una parábola, y la deflexión integrada dos veces es una cúbica. Arrastra P y las tres curvas crecen juntas. Puedes ver el grado subir uno con cada integración. Esta doble integración es el motor del análisis de deflexión. Con solo el diagrama de momento, dos integraciones te entregan toda la forma en que la viga se flexiona.
La integración tiene una trampa. Cada integración trae una constante desconocida, así que dos integraciones traen dos. Sin fijarlas, la curva de deflexión flota arriba y abajo o se inclina entera. Lo que clava estas constantes son las condiciones de borde, los hechos que dan los apoyos. Para un voladizo, en el extremo fijo tanto la deflexión como la pendiente son cero, ya que está empotrado en la pared, y esas dos condiciones fijan las dos constantes exactamente. Para una viga simplemente apoyada, en cambio, la deflexión es cero en ambos extremos. Alterna los apoyos. Para la misma carga, la forma flexionada cambia por completo. Incluso con la misma distribución de curvatura, distintas condiciones de borde dan resultados distintos. Así que en un problema de vigas, qué son los apoyos es la mitad de la respuesta.
Por último, un regalo que hace la práctica muy fácil. Como todo es lineal, las deflexiones se suman. Si varias cargas actúan en una viga, halla la deflexión que cada carga produce por su cuenta, y luego simplemente súmalas. Esto se llama superposición. Alterna entre la carga A sola, la B sola, y ambas. La deflexión con ambas es exactamente la deflexión de A sola más la de B sola. Así que ni una carga complicada da miedo. El final de un libro de texto tabula fórmulas de deflexión para casos básicos, la carga en el extremo del voladizo, la carga uniforme, la carga puntual central, y un problema real se resuelve sacándolos de la tabla y sumando. El análisis de deflexión funciona, al final, con dos integraciones y una suma.