Deflexión de vigas
Hasta aquí la pregunta era si la viga se rompe, que es la resistencia. Que no se rompa no es el final. Si un trampolín se balancea demasiado, o una viga de piso se descuelga tanto que se ve, no sirve aunque no se rompa. Así que hay que preguntar cuánto se dobla de verdad la viga, que es la rigidez. Esa forma doblada es la curva de flecha, y el camino hasta ella es simple. Como se vio en B3, la curvatura, cuánto se dobla la viga, es proporcional al momento en ese lugar e inversamente proporcional a la rigidez a flexión. Curvatura = MEI. La curvatura es la flecha derivada dos veces, así que integrar MEI dos veces saca la flecha. La integración produce constantes, y las condiciones de contorno de los apoyos las fijan. Cuando actúan varias cargas juntas, resuélvelas aparte y suma. Los apoyos fijan las últimas constantes, y por eso la misma curvatura aún puede dar dos formas.
Mira primero la flecha misma. Aprieta la punta de una viga en voladizo fija en un extremo, y la viga se dobla hacia abajo en una curva suave. Esa es la curva de flecha y(x), cuánto ha bajado cada lugar desde donde estaba. Aprieta más la punta y se descuelga más. Dentro del rango elástico la flecha también es proporcional a la carga, que es la ley de Hooke seguida hasta aquí. Para una carga en la punta de un voladizo, la flecha de la punta es δ = PL³(3EI). Lo que hay que notar es L³. Dobla la longitud y la flecha es ocho veces. Una viga larga se descuelga por eso mucho más, y en un problema de flecha la longitud es la variable más temible. La longitud es la variable que más asusta en una flecha.
Quita una capa de lo que es la flecha. Toma un trozo de una viga doblada y está curvado como un arco pequeño. Cuánto está curvado es la curvatura, el recíproco del radio R. La relación central está aquí. κ = MEI. Cuanto mayor el momento flector M en ese lugar, más se curva, y cuanto mayor la rigidez a flexión EI, menos se curva. Mueve M y el trozo se enrolla más redondo cuando el momento crece. EI crece cuando la sección se hace más profunda y el material más rígido, y aun con el mismo momento un EI grande apenas se curva. Si el módulo de sección S era el protagonista en la resistencia, EI es el protagonista en la rigidez. La curvatura es la semilla de la flecha, y estas pequeñas curvaturas, fijas lugar por lugar, se amontonan en la curva de flecha entera. La semilla crece hasta la curva entera.
Ahora amontona las curvaturas pequeñas en una flecha. En matemáticas la curvatura es la flecha y derivada dos veces. EI·y″ = M. Así que ve al revés. Integra MEI una vez y sale la pendiente de la viga y′, e integra una vez más y sale la flecha y. Para una carga en la punta de un voladizo el momento es lineal en la posición, así que MEI también es lineal, la pendiente tras una integración es una parábola, y la flecha tras otra es una curva de grado 3. Mueve P y las tres curvas crecen juntas, y el grado sube uno con cada integración. Estas dos integraciones son el motor del análisis de flecha. Con solo el diagrama de momento, dos integraciones dan la forma entera en que se dobla la viga. Dos integraciones son el motor, y el diagrama de momento basta.
La integración tiene una trampa. Cada integración pega una constante desconocida, y dos integraciones quieren decir dos constantes. Déjalas sin fijar y la curva de flecha flota arriba y abajo o se inclina entera. Lo que clava las constantes son las condiciones de contorno, los hechos que dan los apoyos. En un voladizo la flecha es 0 en el extremo fijo y la pendiente también es 0, porque lo agarra la pared. Esas dos condiciones fijan las dos constantes. En una viga simple la flecha es 0 en los dos extremos en su lugar. Cambia los apoyos con el botón y, bajo la misma carga, la forma flechada cambia del todo. Aun con la misma curvatura, una condición de contorno distinta da un resultado distinto. Así que en un problema de vigas qué son los apoyos es la mitad del problema. Los apoyos son la mitad de la forma, y cambiarlos cambia el resultado.
Por último, un regalo que hace fácil la práctica. Todo es lineal, así que la flecha se suma. Si varias cargas se sientan en la viga, halla la flecha que haría cada carga sola y luego solo súmalas. Eso es superposición. Cambia los botones entre la carga A sola, B sola y las dos, y la flecha con las dos es exactamente la flecha de A sola más la flecha de B sola. Una carga complicada no es por eso nada que temer. Las fórmulas de flecha de los casos básicos están reunidas en una tabla, y un problema real se resuelve sacando esa tabla y sumando. El análisis de flecha gira, al final, sobre dos integraciones y una suma. Sacar la tabla y sumar es toda la práctica. No hace falta integrar desde cero cada vez. Conocer los casos básicos basta, y el resto es suma.