Tira de un miembro axial y se estira δ=PL/AE
Antes viste el esfuerzo σ y la deformación ε en un solo punto. Pero en la práctica lo que de verdad quieres saber es cuánto se estira toda la barra: cuánto cuelga un cable, cuánto se asienta una columna. Llama δ a ese estiramiento. Sorprendentemente, δ queda fijado por solo cuatro cosas: cuán fuerte tiras (P), cuán larga es la barra (L), cuán gruesa es (A) y de qué material es (E). Átalas en una línea y obtienes δ = PLAE, una de las fórmulas más usadas en mecánica de materiales. Y al dar la vuelta a esta ecuación, revela que la barra era en realidad un resorte de rigidez k = AEL todo el tiempo.
Empieza por el vínculo entre tirón y estiramiento. Arrastra P para tirar de la barra y su extremo avanza δ. Tira el doble de fuerte y δ se duplica. La pequeña gráfica al lado muestra P y δ unidos por una recta, proporción directa. Esto es en realidad la ley de Hooke σ = E·ε ampliada a toda la barra: como el esfuerzo era proporcional a la deformación, la fuerza es proporcional al alargamiento. Dentro del rango elástico siempre es esta recta limpia. Así que mide el estiramiento a la mitad del tirón y sabrás de inmediato el estiramiento al doble del tirón.
Ahora ve exactamente qué fija el estiramiento: δ = PLAE. Toma las cuatro letras una a una y cada una tiene sentido. Mayor P estira más, mayor L estira más, mayor A estira menos, mayor E estira menos. Aquí arrastra solo la longitud L. Mantén P, A, E fijos y solo alarga la barra, y δ crece en proporción. ¿Por qué? Si una barra de 1 m se estira 1 mm, eso significa que se estira 1 mm por cada 1 m. Así que 2 m da 2 mm, 3 m da 3 mm. Para la misma deformación, más longitud acumula más estiramiento absoluto. El vínculo deformación-longitud de A2 está justo aquí.
Ahora el denominador. En δ = PLAE, A y E están abajo, así que cuanto mayores son, más recortan el estiramiento. Arrastra el área A para engrosarla: la misma fuerza se reparte por una sección más ancha, el esfuerzo baja y el estiramiento se encoge. Cambia también el material con los botones. El acero apenas se estira, el aluminio un poco más, la madera mucho más. Ayuda pensar el producto A·E como la rigidez de esa barra. Más grueso y más rígido significa más rigidez, así que cede menos ante la misma fuerza. La razón de que un cable de puente use alambre de acero grueso en vez de hilo fino vive justo en este denominador.
Los miembros reales no son uniformes en grosor. Imagina una barra cuya sección cambia por escalones. La misma fuerza P recorre por igual cada tramo, pero como cada uno tiene distinto grosor, cada uno se estira distinto. El estiramiento total es simplemente la suma de los estiramientos por tramo: δ = Σ PLAE, calculado tramo por tramo y sumado. Arrastra P. Verás el tramo más delgado ponerse más rojo y estirarse más, porque para la misma fuerza la deformación se amontona en la sección estrecha. Así que en diseño, un tramo más débil gobierna todo el comportamiento, igual que una cadena se rompe por su eslabón más débil.
Por último, da la vuelta a δ = PLAE. Escrita como P = (AEL)·δ, es exactamente la forma de la ley del resorte F = kδ. Así que un miembro axial es un resorte de rigidez k = AEL. Arrastra P y el resorte se extiende, con δ = Pk siguiendo. Un k grande es un resorte rígido que apenas se estira; un k pequeño es blando y se estira fácil. Lo que hace poderosa esta visión es que puedes reemplazar una estructura compleja por un conjunto de resortes y resolverla. Conéctalos en serie y las rigideces se combinan de una forma; ponlos en paralelo y se combinan de otra. En cuanto ves una barra como un resorte, el análisis estructural se vuelve un problema de resortes conocido.