La rigidez y la masa fijan la frecuencia natural
Tira un poco hacia un lado del peso que cuelga del extremo de un resorte, y luego suéltalo. En el momento en que lo sueltas, sin que nadie se lo ordene, el peso empieza a oscilar de un lado a otro con su propio ritmo constante. Ese ritmo es siempre el mismo. Lo tires fuerte o suave, el tiempo de un viaje de ida y vuelta no cambia. Esta es la frecuencia natural del sistema. Todo lo que vibra tiene un ritmo propio: un columpio, un puente, un edificio, un diapasón. Entonces, ¿qué fija ese ritmo? Solo dos cosas. Lo rígido que es el resorte, y lo pesado que es el peso. Más rígido lo hace más rápido; más pesado, más lento. Toda la historia de la vibración empieza en esta sola escena.
Arrastra el peso a un lado y suéltalo. En cuanto lo sueltas, el peso empieza a vibrar por sí mismo. La gráfica de abajo muestra cómo cambia su desplazamiento con el tiempo: una onda suave y ondulante. Esto es movimiento armónico simple. Ahora prueba un experimento. Tira muy lejos y suelta, luego tira solo un poco y suelta. La altura de la onda (la amplitud) cambia, pero el espacio entre una oscilación y la siguiente se mantiene igual. Es decir, lo fuerte que la sacudas no puede cambiar el ritmo. El sistema mismo fija el ritmo, y por eso lo llamamos frecuencia natural, la que trae de nacimiento.
Ahora deja la masa igual y cambia solo el resorte. Aquí k es la rigidez del resorte, lo rígido que es. Sube k y la vibración se acelera de forma notable. Un resorte más rígido tira del peso de vuelta a su posición de reposo con más fuerza. Para el mismo peso, un tirón de regreso más fuerte significa un viaje de ida y vuelta más rápido. Piensa en la suspensión de un coche. Un resorte duro de coche deportivo rebota rápido y firme, mientras que uno blando se mece despacio. Cuanto más fuerte es el tirón de retorno, más rápido el ritmo. Esa es la primera regla.
Esta vez al revés: deja el resorte igual y aumenta solo la masa. Cuanto más grande el bloque, más pesado el peso. Sube m y la vibración se vuelve cada vez más lenta. Una cosa pesada tiene mucha inercia. Una vez que se mueve se resiste a parar, y una vez quieta se resiste a arrancar. Así que aunque el mismo resorte tire, un peso pesado responde con pereza y tarda más en un viaje de ida y vuelta. Es como una campana grande que suena más grave y lenta que una pequeña. Cuanto mayor la masa, más lento el ritmo. Esa es la segunda regla, y actúa justo en la dirección contraria a la rigidez.
Une las dos reglas en una sola expresión y obtienes la frecuencia angular natural ωₙ = √(km). La rigidez k va arriba (el numerador), la masa m va abajo (el denominador). Así que cuando k crece, ωₙ crece; cuando m crece, ωₙ se encoge, exactamente lo que acabamos de ver. Importa una cosa más: lleva una raíz cuadrada por encima de todo. Mueve los deslizadores de k y m para cambiar la razón km y la curva tiene forma de √, empinada al principio y más suave después. Eso significa que cuadruplicar la rigidez solo hace la frecuencia el doble de rápida. Para duplicar el ritmo, tienes que hacer el resorte cuatro veces más rígido. Una vez que conoces la frecuencia, el periodo T = 2πωₙ (el tiempo de un viaje de ida y vuelta) y la frecuencia f = ωₙ2π (ciclos por segundo) salen de inmediato.
El mismo principio funciona igual de bien más allá de los resortes. Un péndulo es un poco especial. Su frecuencia natural es ωₙ = √(gL), con solo la longitud L dentro y el peso de la lenteja por ninguna parte. Así que una lenteja pesada y una ligera oscilan al mismo ritmo mientras la cuerda tenga la misma longitud. Esto es justo lo que notó Galileo mirando una araña de luces de una catedral. Un edificio alto es como un péndulo gigante: cuanto más alto, más blando y pesado, así que se mece despacio. Por eso la cima de un rascacielos va y viene con el viento una vez cada pocos segundos. Un diapasón es lo contrario. Sus brazos cortos, rígidos y ligeros vibran muy rápido, cientos de veces por segundo, así que nuestros oídos oyen un tono estable. Cambia entre los tres con los botones y verás la misma historia: el equilibrio entre rigidez y masa fija el ritmo.