Frecuencia natural
Tira un poco a un lado una masa colgada del extremo de un resorte y suéltala. En el instante en que sueltas la mano, la masa empieza a ir y venir a su propio compás, sin que nadie se lo pida. Ese compás es siempre el mismo. Tira fuerte o tira suave y el tiempo de un viaje de ida y vuelta no cambia, y esa es la frecuencia natural del sistema. Cualquier cosa que vibra tiene su compás nacido. Un columpio, un puente, un edificio, un diapasón. Exactamente dos cosas fijan ese compás. Cuán rígido es el resorte, la rigidez, y cuán pesada es la masa. Cuanto más rígido más rápido, y cuanto más pesado más lento. Toda historia de la vibración empieza en esta escena. El compás lo fija la naturaleza del sistema, no la fuerza de la mano. La distancia que tiras cambia solo la altura y deja el tiempo como está. Un columpio y un rascacielos comparten esta sola regla.
Arrastra la masa, tírala a un lado y suéltala, y en el instante en que sueltas la mano la masa empieza a vibrar sola. El gráfico de abajo muestra cómo cambia ese desplazamiento con el tiempo, una onda lisa. Eso es el movimiento armónico simple. Tira lejos y suelta, luego tira un poco y suelta, y la altura de la onda cambia pero el espacio de un vaivén se queda igual. Cuán fuerte la sacudas no puede cambiar el compás. El sistema mismo fija el compás, así que lo llamamos la frecuencia nacida. La altura de la onda y el espacio de la onda son historias distintas. Una es la mano y la otra es el sistema. Suéltala lejos o cerca y el reloj de la onda no le importa.
Ahora deja la masa como está y cambia solo el resorte. k es la rigidez del resorte, cuán rígido es. Sube k y la vibración se hace notablemente más rápida. Un resorte rígido tira de la masa hacia el equilibrio con más fuerza, así que el mismo peso vuelve más fuerte y hace el viaje más rápido. Un resorte duro de coche deportivo rebota rápido, y un resorte blando se mece lento. Cuanto más fuerte la fuerza de restauración, más rápido el compás. Esa es la primera regla. Cuanto más fuerte la fuerza que lo devuelve, más corto el viaje. El lado blando alarga el tiempo y el lado rígido lo acorta. Un coche deportivo y un asiento blando son los dos extremos de esta regla.
Ahora al revés. Deja el resorte y sube solo la masa. Cuanto más grande el bloque más pesada la masa, y cuando subes m la vibración se hace más lenta. Una cosa pesada tiene mucha inercia. Una vez que se mueve odia parar, y una vez parada odia arrancar. Así aunque el mismo resorte tire, una masa pesada responde perezosa y un viaje de ida y vuelta tarda más. Una campana grande suena más grave y más lenta que una pequeña. Cuanto mayor la masa, más lento el compás. Esa es la segunda regla, y actúa en la dirección opuesta a la rigidez. Una masa de mucha inercia responde tarde a la misma fuerza. Arrancar y parar se hacen ambos más pesados. Una campana grande se toma su tiempo porque odia darse la vuelta.
Ata las dos reglas en una fórmula y la frecuencia angular natural es ωₙ = √(km). La rigidez k está en el numerador y la masa m en el denominador. Así cuando k crece la frecuencia crece, y cuando m crece la frecuencia mengua, justo como vimos. La raíz cuadrada importa. Cambia la razón km de k y m y la curva tiene forma de raíz cuadrada, empinada al principio y luego más suave. Sube la rigidez cuatro veces y la frecuencia solo se hace el doble de rápida, así que para hacer el compás el doble de rápido tienes que hacer el resorte cuatro veces más rígido. Cuando conoces la frecuencia, el periodo T = 2πωₙ y la frecuencia f = ωₙ2π siguen enseguida. La raíz cuadrada hace crecer el compás más despacio que la rigidez. Así un cambio pequeño del resorte mueve el compás menos que ese cambio. Cuatro veces la rigidez compra solo el doble de compás.
El mismo principio vale fuera de un resorte. Un péndulo es un poco especial. Su frecuencia natural es ωₙ = √(gL), y solo entra la longitud L de la cuerda. El peso de la masa no entra en absoluto. Así una masa pesada y una ligera se mecen al mismo compás si la longitud de la cuerda es la misma. Eso es lo que Galileo notó en un candelabro de catedral. Un edificio alto es como un péndulo enorme. Cuanto más alto más blando y más pesado, y se mece despacio, que es por qué la cima de un rascacielos se mece perezosa con el viento. Un diapasón es lo contrario. Dientes cortos, rígidos y ligeros tiemblan cientos de veces en 1 segundo, tan rápido que el oído oye un tono fijo. Cambia los tres con un botón y ves la misma historia, que el equilibrio de rigidez y masa fija el compás. Solo la longitud de la cuerda fija el compás, y el peso de la masa se sale. Un edificio y un diapasón son los dos extremos de ese equilibrio. La misma fórmula, con otra pareja en la fracción, sigue fijando el reloj.