La resonancia — cuando un pequeño empujón se vuelve un gran vaivén
La vibración libre de la lección pasada se apagaba una vez que soltabas. Esta vez seguimos empujando. Piensa en un columpio. Empuja en momentos al azar y apenas sube. Pero empuja al compás del propio ritmo del columpio y sube más y más. Todo el secreto está ahí. Excita un sistema con una fuerza periódica y acaba oscilando al compás que tú impones. Si ese compás coincide con la frecuencia natural del sistema ωₙ, cada empujón añade energía en la misma dirección en que ya va el movimiento, y la amplitud crece enormemente. ¿Qué la frena? Solo el amortiguamiento. Una fuerza pequeña, mantenida en ritmo, puede deshacer un puente o romper una copa con una voz. Esa coincidencia de compases es la resonancia, la idea más importante y más peligrosa de la vibración.
Empuja el sistema con una fuerza periódica F = F₀cos(ωt). Al principio hay un breve transitorio que aún arrastra la vibración libre de la lección anterior, pero cuando ese se apaga el sistema se asienta en un estado estacionario. Este es el punto clave: el sistema oscila no a su frecuencia natural ωₙ sino a la frecuencia de excitación ω que tú impones. Baila al compás que le das. La amplitud es la deflexión estática F₀k por un factor de amplificación M, y ese M depende de la razón de frecuencias r = ωωₙ. Mueve ω: lejos de ωₙ la masa apenas se mueve, pero cuando ω se acerca a ωₙ la amplitud se hincha. El sistema se mueve con más facilidad cuando lo empujas a su compás natural.
Dibuja esa amplificación M frente a la razón de frecuencias r y obtienes la curva de resonancia, M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²). Se divide en tres zonas. A r pequeño (un empuje lento), M ≈ 1: la masa simplemente sigue a la fuerza, deflectándose F₀k como si la fuerza fuera estática. Cerca de r = 1 el denominador casi se anula y M sube en un pico agudo — esto es la resonancia. A r grande (un empuje rápido), M → 0: la masa es demasiado lenta para seguir y apenas responde. El pico en r ≈ 1 es el corazón de todo: empuja a la frecuencia natural y la respuesta se amplifica muchas veces.
¿Qué impide que el pico se vaya al infinito? El amortiguamiento. En la resonancia (r = 1) el término (1−r²) es cero, así que lo único que frena la amplitud es el término 2ζr, el amortiguamiento. Mueve ζ: poco amortiguamiento da un pico alto, agudo y peligroso; mucho amortiguamiento da uno bajo y ancho. La altura del pico es aproximadamente 1(2ζ), que se llama factor de calidad Q. Una campana o copa apenas amortiguada (Q alto) suena con una resonancia aguda y pura, mientras que un soporte de máquina bien amortiguado (Q bajo) apenas responde. Por esto justamente los ingenieros añaden amortiguamiento: no para cambiar la frecuencia natural, sino para domar el pico de resonancia.
Hay una segunda mitad de la historia: la fase. La respuesta siempre atrasa a la fuerza de excitación en un ángulo φ. Por debajo de la resonancia (r < 1) el atraso es pequeño, así que masa y fuerza se mueven casi juntas. Justo en la resonancia (r = 1) el atraso es exactamente 90°, un cuarto de ciclo: aquí la fuerza siempre empuja en la dirección en que la masa ya se mueve, que es justo por lo que la energía entra con tanta eficiencia y la amplitud crece. Por encima de la resonancia (r > 1) el atraso se acerca a 180°: la masa se mueve en sentido opuesto a la fuerza, oponiéndose, así que poco pasa. Observa el punto del impulso y el de la respuesta: pasan de moverse juntos, a un cuarto de ciclo de diferencia, a moverse en sentidos opuestos.
La resonancia está por todas partes, para bien y para mal. El puente de Tacoma Narrows (1940) se retorció hasta deshacerse cuando el viento alimentó energía a la frecuencia natural del puente — la advertencia de manual sobre la resonancia destructiva. Un cantante puede romper una copa sosteniendo la nota que coincide con la frecuencia natural del vidrio. Los soldados rompen el paso al cruzar un puente para que su ritmo de marcha nunca se enganche a la frecuencia natural. Pero la resonancia también es útil: sintonizar una radio significa ajustar la frecuencia natural de un circuito hasta que resuene con una emisora e ignore el resto — la resonancia como un filtro que escoge una señal entre miles. La misma física, intenciones opuestas.