Vibración forzada y resonancia
La vibración libre de la lección anterior se apagaba en cuanto soltabas la masa. Esta lección sigue empujando. Un columpio deja el cuadro claro. Si empujas en momentos cualquiera, apenas sube, pero si empujas al compás del propio columpio, sube más alto cada vez. El secreto está en ese compás. Si mueves un sistema con una fuerza periódica, el sistema acaba oscilando al compás que impones. Cuando ese compás coincide con la frecuencia natural ωₙ, el empuje añade energía en la misma dirección del movimiento en cada ciclo. La amplitud crece entonces mucho. Lo único que lo frena es el amortiguamiento. Una fuerza pequeña, si lleva el tiempo justo, puede sacudir un puente, y una voz sola puede romper un vaso. El fenómeno en el que los compases coinciden es la resonancia, y es la idea más importante y más peligrosa de la vibración.
Empuja el sistema con una fuerza periódica F = F₀cos(ωt). Al principio aparece un transitorio, todavía mezclado con la vibración libre de la lección anterior, pero cuando ese transitorio muere el sistema se asienta en una oscilación estacionaria. El punto clave es que el sistema no oscila a su frecuencia natural ωₙ. Oscila a la frecuencia de excitación ω que fija el empuje. La amplitud es la deflexión estática F₀k multiplicada por un factor M, y este M depende de la razón de frecuencias r = ωωₙ. Cuando ω queda lejos de ωₙ, la masa apenas se mueve. Cuando ω se acerca a ωₙ, la amplitud se hincha. El sistema se mueve con más ganas cuando lo empujan al compás con el que nació. Fuera de ese compás, la misma fuerza apenas mueve la masa.
Dibuja ese factor M frente a la razón de frecuencias r y aparece la curva de resonancia. Es M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²), y la curva se parte en tres zonas. Cuando r es pequeño, un empuje lento, M ≈ 1. La masa sigue la fuerza casi tal cual y se deforma solo en F₀k, moviéndose como si la fuerza fuera estática. Cuando r está cerca de 1, el denominador cae casi a 0 y M sube a un pico agudo. Eso es la resonancia. Cuando r es grande, un empuje rápido, M → 0, así que la masa es demasiado lenta para seguir y apenas responde. El pico en r ≈ 1 es el corazón de la curva. Empuja al compás de la frecuencia natural y la respuesta crece varias veces.
Lo que impide que el pico suba sin fin es el amortiguamiento. En la resonancia (r = 1) el término (1−r²) se vuelve 0, así que el único término que sujeta la amplitud es 2ζr, el amortiguamiento. Cambia ζ y un amortiguamiento ligero hace el pico alto, agudo y peligroso, mientras que uno fuerte lo hace bajo y romo. La altura del pico es aproximadamente 1(2ζ), y esa cantidad se llama factor de calidad Q. Una campana o una copa de vino casi sin amortiguamiento (Q alto) suena en una resonancia aguda y pura, y un soporte de máquina bien amortiguado (Q bajo) apenas responde. Los ingenieros añaden amortiguamiento no para mover la frecuencia natural, sino para domar el pico de resonancia.
La historia tiene una segunda mitad, y esa mitad es la fase. La respuesta siempre atrasa a la fuerza de excitación en un ángulo φ. Por debajo de la resonancia (r < 1) el atraso es pequeño, así que la masa y la fuerza se mueven casi juntas. Justo en la resonancia (r = 1) el atraso es exactamente 90°, que es 14 de un ciclo. Ahí la fuerza empuja siempre en la dirección en la que la masa ya va, así que la energía entra con eficiencia y la amplitud crece. Por encima de la resonancia (r > 1) el atraso se acerca a 180°, y la masa se mueve contra la fuerza. Entonces casi no se transmite nada. Mira el punto de excitación y el punto de respuesta: se mueven juntos, luego se desfasan 14 de ciclo, y después pasan a moverse en sentidos opuestos.
La resonancia está en todas partes, para bien y para mal. El puente de Tacoma Narrows (1940) se retorció hasta romperse cuando el viento alimentó energía en la frecuencia natural del puente, y se volvió la advertencia de manual sobre la resonancia destructiva. Un cantante puede romper una copa de vino sosteniendo la nota que coincide con la frecuencia natural del vidrio. Los soldados rompen el paso al cruzar un puente para que el compás de la marcha nunca enganche la frecuencia natural del puente. La resonancia también sirve. La sintonía de radio ajusta la frecuencia natural de un circuito hasta que resuena con una emisora e ignora el resto. La resonancia, como filtro que escoge una señal entre muchas, es la misma física con la intención contraria.