Por qué se apagan las vibraciones — el amortiguamiento
En la lección anterior, una vibración ideal conservaba su energía para siempre y no se detenía nunca. Pero las vibraciones reales se detienen todas: una cuerda de guitarra pulsada se apaga, una campana golpeada pronto calla, un coche que pasa un bache rebota unas veces y se asienta. ¿Por qué? Porque la energía se está fugando por algún lado. Fricción, resistencia del aire, pérdidas dentro del material: lo reunimos todo bajo una palabra, amortiguamiento. Imagina el sistema con un amortiguador, un dispositivo de fricción viscosa. El amortiguador empuja en contra del movimiento y, en cada ciclo, sangra un poco de energía en forma de calor. Así, cada viaje de ida y vuelta llega un poco menos lejos, y al final queda en reposo. El único número que mide cuán fuerte es el amortiguamiento es la razón de amortiguamiento ζ. Y hay una sorpresa esperando: con suficiente amortiguamiento el sistema no oscila en absoluto, solo se hunde despacio de vuelta a su lugar de reposo.
Los sistemas de arriba y de abajo tienen el mismo resorte y la misma masa. Solo difieren en una cosa: el de abajo tiene un amortiguador. Ambos se sueltan desde el mismo ancho, pero el de arriba (sin amortiguador) sigue oscilando con el mismo ancho, mientras que el de abajo (con amortiguador) llega un poco menos lejos en cada viaje. Dentro del amortiguador, un pistón empuja a través de un fluido viscoso y convierte energía cinética en calor. Esa fuerza siempre se opone a la velocidad, así que solo puede quitar energía, nunca añadirla. Por eso el ½kx²+½mv² = constante de la lección anterior ya no se cumple: la suma se está fugando. El alcance que encoge es la prueba visible de que la energía se drena. Como la energía va con el cuadrado del ancho (E∝A²), cuando el ancho se reduce a la mitad solo queda una cuarta parte de la energía. El número de abajo muestra cuánta energía queda.
Cuando el amortiguamiento es ligero, el sistema todavía oscila, pero ahora queda atrapado dentro de una envolvente exponencial cada vez más estrecha. En símbolos, x(t) = A·e−ζωₙt·cos(ωd t). La curva naranja a trazos es esa envolvente, e−ζωₙt, y la curva azul es el desplazamiento oscilando dentro de ella. Aquí está la idea clave: el ancho no encoge una cantidad fija cada ciclo, sino una razón fija. Mira los puntos dorados de los picos: cada pico es siempre el mismo múltiplo r del anterior. Si el primer pico baja de 10 a 8, el siguiente va de 8 a 6.4, luego de 6.4 a 5.12, siempre por 0.8. El logaritmo de esta razón constante se llama decremento logarítmico, y por eso medir solo dos picos te dice cuán amortiguado está el sistema. Sube ζ y la envolvente se vuelve más empinada.
Ese único número que mide el amortiguamiento es la razón de amortiguamiento ζ = c(2√(km)). Aquí c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso (cuán fuerte es el amortiguador), y k y m son la rigidez y la masa que ya conoces. ζ une estos tres en un dial adimensional, así que un sistema grande o pequeño se apaga con la misma forma al mismo ζ. Sube ζ y pasan dos cosas a la vez. Primera, se apaga más rápido, como cabría esperar. Segunda, el propio vaivén se frena un poco. Con amortiguamiento, el sistema no oscila a su frecuencia natural ωₙ sino a la frecuencia amortiguada, algo menor, ωd = ωₙ√(1−ζ²). Para amortiguamiento ligero (ζ pequeño), √(1−ζ²) es casi 1 y ωd ≈ ωₙ, pero a medida que ζ se acerca a 1, ωd cae hacia cero, justo al borde de que el vaivén desaparezca.
En el momento en que ζ cruza 1, cambia hasta el tipo de comportamiento. Mira la curva de regreso después de desplazar la masa y soltarla desde el reposo. Subamortiguado (ζ<1), se pasa de cero hacia el otro lado y vuelve, oscilando. Amortiguamiento crítico (ζ=1), regresa a su sitio lo más rápido posible sin ningún sobrepaso, sin cruzar el cero ni una vez (la curva dorada a trazos). Sobreamortiguado (ζ>1), tampoco se pasa, pero es tan lento que repta de vuelta despacio. Mueve ζ de 0 a 2 con el deslizador y la curva actual viaja entre estas tres formas. Lo importante aquí es que el amortiguamiento crítico es especial: ζ=1 es justo la frontera que se asienta más rápido sin sobrepasar, lo que lo hace ideal para cualquier diseño que deba asentarse rápido pero sin resonar.
Estos tres regímenes no son solo matemática, sino decisiones de diseño que un ingeniero toma a propósito. Los amortiguadores de un coche se ajustan algo subamortiguados (ζ≈0.3): tras un bache oscilan suave una o dos veces y se asientan, porque demasiado rígido va duro y demasiado blando se queda meciéndose. Un cierrapuertas está casi crítico (ζ≈0.9), ya que no debe ni cerrarse de golpe ni rebotar abierto, sino cerrar suave y solo detenerse. Una aguja de instrumento, o cierto equipo hidráulico, está sobreamortiguada (ζ≈1.6): que sea lento da igual, lo que importa es que llegue al reposo en un valor sin vaivén para poder leerse con exactitud. Cambia entre los tres con los botones y verás la misma historia de ζ dar una respuesta distinta en cada máquina.