Vibración libre amortiguada
En la lección anterior una vibración ideal conservaba su energía para siempre y no se detenía. El movimiento real no funciona así. Una cuerda de guitarra pulsada se apaga, una campana golpeada pronto calla, y un coche que pasa un bache se balancea unas veces y luego se detiene. La energía se está fugando del movimiento. Fricción, resistencia del aire y las pérdidas dentro del material caben bajo una sola palabra, amortiguamiento. Imagina un amortiguador en el sistema, un dispositivo de fricción viscosa. Empuja en contra del movimiento y, en cada ciclo, convierte un poco de energía en calor. Por eso cada viaje de ida y vuelta llega un poco menos lejos, hasta que la masa queda en reposo. Cuán fuerte es ese amortiguamiento se escribe con un solo número, la razón de amortiguamiento ζ. Cuando el amortiguamiento crece lo bastante, la oscilación ni siquiera empieza. La masa no cruza al otro lado. Se hunde despacio de vuelta al lugar de donde salió. El calor que ya salió del movimiento no vuelve como movimiento.
Los sistemas de arriba y de abajo tienen el mismo resorte y la misma masa. Solo cambia una cosa, y el de abajo lleva un amortiguador. Suelta ambos desde el mismo ancho. El de arriba, sin amortiguador, conserva ese ancho, mientras que el de abajo, con amortiguador, llega un poco menos lejos en cada viaje. Dentro del amortiguador un pistón empuja un fluido viscoso y convierte energía cinética en calor. La fuerza mira siempre en contra de la velocidad, así que puede quitar energía y no puede añadirla. El ½kx²+½mv² = constante de la lección anterior deja de cumplirse, y la suma se fuga. Un alcance que encoge es la señal visible de que la energía se ha ido. La energía sigue el cuadrado del ancho (E∝A²), así que cuando el ancho queda en la mitad solo queda 1 parte de 4 de la energía guardada, un cuarto. El número de abajo dice cuánto queda. Lo que se fue queda como calor y no regresa al movimiento.
Con amortiguamiento ligero la oscilación sigue ahí, pero el movimiento queda atrapado dentro de una envolvente exponencial que se estrecha. El desplazamiento se escribe x(t) = A·e−ζωₙt·cos(ωd t). La curva naranja a trazos es la envolvente e−ζωₙt, y la curva azul es el desplazamiento que va y viene dentro de ella. El ancho no pierde una longitud fija en cada ciclo. Pierde una fracción fija. Sigue los picos dorados y cada uno es el mismo múltiplo r del pico anterior. Si el primer pico baja de 10 a 8, el siguiente baja de 8 a 6.4 y el de después de 6.4 a 5.12, siempre por 0.8. El logaritmo de esa razón constante es el decremento logarítmico. Con dos picos basta para leer cuán amortiguado está el sistema, y al subir ζ la envolvente se empina. Una envolvente más empinada deja menos ancho tras el mismo tiempo, y la razón se lee con más claridad que una longitud fija.
El número que mide el amortiguamiento es la razón de amortiguamiento ζ = c(2√(km)). Aquí c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso, cuán fuerte es el amortiguador, y k y m son la rigidez y la masa que ya tienes. ζ ata los tres en un dial adimensional, así que un sistema grande y uno pequeño se apagan con la misma forma cuando ζ es el mismo. Subir ζ hace dos cosas a la vez. El decaimiento se acelera, y el propio vaivén se frena un poco. Con amortiguamiento el sistema no oscila a su frecuencia natural ωₙ. Oscila a la frecuencia amortiguada, más baja, ωd = ωₙ√(1−ζ²). Si el amortiguamiento es ligero, √(1−ζ²) es casi 1 y ωd ≈ ωₙ, pero cuando ζ se acerca a 1, ωd cae hacia 0. Ese es el instante justo antes de que el vaivén desaparezca. Un solo dial fija la forma del apagado, sin importar cuán grande sea el sistema.
En el momento en que ζ pasa de 1, cambia hasta el tipo de movimiento. Da un desplazamiento a la masa y suéltala desde el reposo, y la curva de regreso se parte con claridad. Subamortiguado (ζ<1), cruza el 0, llega al otro lado y vuelve oscilando. Amortiguamiento crítico (ζ=1), no cruza el 0 ni una sola vez y regresa a casa tan rápido como un regreso puede, sin sobrepaso (la curva dorada a trazos). Sobreamortiguado (ζ>1) tampoco cruza, pero el movimiento es tan pegajoso que repta de vuelta. Desliza ζ de 0 a 2 y la curva viva viaja entre estas tres formas. El amortiguamiento crítico es especial porque ζ=1 es justo la frontera que se detiene antes sin sobrepasar. Sirve a un diseño que debe asentarse pronto y no debe resonar. El regreso más rápido que no deja oscilación es lo que significa el crítico, y el deslizador hace visible ese borde.
Estos tres regímenes son decisiones de diseño que un ingeniero toma a propósito, no un trozo de matemática dejado en la página. El amortiguador de un coche se ajusta un poco subamortiguado (ζ≈0.3). Tras un bache oscila suave una o dos veces y se asienta, porque un ajuste demasiado rígido va duro y uno demasiado blando se queda meciéndose. Un cierrapuertas queda cerca del crítico (ζ≈0.9). No debe cerrarse de golpe ni rebotar abierto. Tiene que cerrar suave y simplemente detenerse. Una aguja de instrumento, y cierto equipo hidráulico, está sobreamortiguada (ζ≈1.6). Que sea lenta es aceptable. Lo que importa es que llegue al reposo en un valor sin vaivén, para poder leer la marca con exactitud. Los botones cambian las tres máquinas, y la misma historia de ζ responde distinto en cada una.