Momento de inercia y torque
Igual que la fuerza producía aceleración en el movimiento rectilíneo, en la rotación el momento de fuerza produce aceleración angular. Una puerta se abre con facilidad cuando se empuja lejos de las bisagras, por el picaporte, porque el momento depende de la distancia al eje además del tamaño de la fuerza. Y hay objetos que giran con soltura ante el mismo momento y otros que se resisten; lo que mide esa diferencia es el momento de inercia I, la masa de la rotación, que describe lo lejos del eje que está repartida la masa. Esta lección plantea uno tras otro el momento de fuerza y el momento de inercia y los une en la ley de Newton para la rotación. También muestra cómo cambia el momento de inercia con la forma y con la posición del eje.
Lo que hace girar algo no es solo el tamaño de la fuerza, sino dónde se aplica. El momento de fuerza M = F × d es la fuerza por el brazo de palanca d, la distancia al eje, así que la misma fuerza hace girar más cuanto más lejos del eje se aplica. Si aumentas con el deslizador la distancia r al punto donde actúa la fuerza, el brazo de palanca discontinuo se alarga y el momento de la lectura crece en proporción. Y eso ocurre aunque la flecha naranja de fuerza conserve su tamaño. Una llave inglesa larga afloja un tornillo muy apretado, y un niño ligero sentado en el extremo de un balancín equilibra a un adulto pesado, por la misma razón.
En la rotación, el papel de la masa lo hace el momento de inercia I = Σ m r². La misma masa aporta más cuanto más lejos del eje está, con el cuadrado de su radio r, y aumenta el momento de inercia I, lo difícil que es poner el cuerpo a girar. Si aumentas r con el deslizador para alejar del eje las dos masas doradas, la barra azul crece deprisa con el cuadrado de la distancia aunque la masa sea la misma. Al duplicar la distancia, el momento de inercia se cuadruplica. Por eso una patinadora gira más rápido con los brazos recogidos y más despacio con ellos extendidos.
Al juntar los dos aparece la segunda ley de Newton para la rotación, ΣM = Iα. El momento neto produce aceleración angular, y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia I, así que tiene la misma forma que ΣF = ma en el movimiento rectilíneo, con solo cambiar las letras. Al aumentar el momento M con el deslizador, la aceleración angular α = MI crece en proporción y la barra dorada se alarga con ella. El momento de inercia se mantiene fijo, así que al duplicar el momento se duplica la aceleración angular. Igual que la masa se opone a la aceleración en línea recta, el momento de inercia se opone a la aceleración angular en la rotación.
Aun con la misma masa y el mismo radio, el factor β de I = βMR² depende de la forma y disminuye en el orden aro (1), disco (½), esfera (⅖). El aro, con la masa reunida en el borde, tiene el valor mayor, y la esfera, llena por igual hasta el centro, el menor. Si se hacen rodar estos objetos por una pendiente, cuanto menor es β menos los frena la rotación y más deprisa bajan; la aceleración al rodar depende de β (aceleración ∝ 1(1+β)). Al cambiar de forma con los botones, la barra verde muestra el factor de aceleración al rodar de esa forma: la más larga es la de la esfera y la más corta, la del aro. Por eso, si se sueltan juntos una pelota y un aro en la misma pendiente, siempre llega antes la pelota.
Incluso para el mismo objeto, al mover el eje de giro cambia el momento de inercia I. El teorema de los ejes paralelos, I = Icm + M d², da el nuevo valor: al alejar el eje una distancia d del eje que pasa por el centro de masas, se añade M d². En la figura, la línea verde discontinua es el eje que pasa por el centro de masas y la dorada, el eje de giro desplazado. Al aumentar d con el deslizador, la barra azul, I, crece con el cuadrado de la distancia. Como el eje que pasa por el centro de masas da siempre el valor más pequeño, una puerta que gira sobre sus bisagras se nota más pesada de lo que se notaría girando sobre su centro.