Cinemática rotacional
Cuando un sólido rígido, como una rueda o un disco, gira alrededor de un eje, todos sus puntos giran el mismo ángulo θ en el mismo tiempo. Por eso la rotación se describe mucho mejor con un solo ángulo que con la posición de cada punto. Las x·v·a del movimiento rectilíneo pasan a la rotación como posición angular θ, velocidad angular ω y aceleración angular α, con solo cambiar de nombre, y las mismas relaciones de derivada e integral siguen valiendo. El puente entre los dos mundos es únicamente el radio r: al multiplicar la velocidad angular por el radio se obtiene la rapidez lineal con que se mueve de verdad ese punto (v=rω). Esta lección plantea una tras otra las tres magnitudes que describen la rotación y cruza ese puente.
Al arrastrar el ángulo θ con el deslizador el disco gira, y todos los puntos alejados del eje barren el mismo ángulo. El punto azul interior y el dorado exterior giran el mismo ángulo, pero el exterior recorre un arco más largo. Un punto a radio r recorre un arco de longitud s = rθ, con θ medido en radianes. Un radián es la longitud del arco dividida entre el radio, y gracias a esa definición la fórmula del arco no lleva ninguna constante extra. La longitud de arco de la lectura es la del punto dorado exterior.
La velocidad angular ω indica lo rápido que cambia el ángulo y se escribe ω = dθ/dt. La gráfica es una gráfica θ-t, con el tiempo en el eje horizontal y el ángulo en el vertical, y con velocidad angular constante es una recta verde. La altura del escalón discontinuo dividida entre su anchura, la pendiente de la recta, es ω. Si aumentas ω con el deslizador, la recta se empina y el disco gira un ángulo mayor en el mismo tiempo. Es exactamente la estructura del movimiento rectilíneo, donde la velocidad era la pendiente de la gráfica posición-tiempo.
La aceleración angular α indica lo rápido que cambia la velocidad angular y se define como α = dω/dt. Esta gráfica es una gráfica ω-t, con la velocidad angular en el eje vertical, y la pendiente de la recta azul es α. Con α positiva en el deslizador, la recta sube hacia la derecha y la rotación se acelera, como siempre que α>0. Con α<0 la recta baja y la rotación se frena, y en el instante en que cruza el eje horizontal la velocidad angular cambia de signo y el cuerpo empieza a girar al revés. La velocidad angular inicial se mantiene fija, así que la recta parte del mismo punto y solo cambia su pendiente.
Todos los puntos del disco giran con la misma velocidad angular, pero los exteriores se mueven más deprisa, porque la rapidez tangencial de un punto a radio r es v = rω. El disco lleva un punto azul interior y uno naranja en el borde, en las posiciones r=1 y r=2. Al mover ω con el deslizador, las dos flechas de rapidez crecen a la vez, y la del punto exterior siempre mide el doble. Por la misma razón los asientos exteriores de una atracción dan más vértigo y el borde de un disco de vinilo pasa más deprisa que el centro.
Con aceleración angular constante, las fórmulas de aceleración constante del movimiento rectilíneo pasan tal cual a la rotación. Al mover α con el deslizador, la recta azul de la gráfica ω-t se inclina y el área del trapecio sombreado bajo ella es el ángulo Δθ barrido hasta ese momento, igual que el área bajo la gráfica de velocidad era el desplazamiento en el movimiento rectilíneo. Las fórmulas solo cambian de letras: ω=ω₀+αt, Δθ=ω₀t+½αt², ω²=ω₀²+2αΔθ. En la lectura se ve que, al crecer α, aumentan a la vez la velocidad angular final y el ángulo barrido.