La velocidad es la pendiente de la posición, la aceleración la de la velocidad
Una sola partícula se mueve a lo largo de una línea. Arrastra el tiempo y se desliza de un lugar a otro. Pero mira de cerca: en algunos tramos pasa a toda prisa, en otros casi se queda quieta. Incluso en el mismo segundo recorre distancias distintas. Qué tan rápido cambia así la posición es exactamente la velocidad. Y hasta esa velocidad cambia de un momento a otro, acelerando y luego frenando. Qué tan rápido cambia la velocidad es la aceleración. Al ir de la posición a la velocidad, y de la velocidad a la aceleración, lo que haces en cada peldaño es lo mismo: preguntas qué tan rápido está cambiando. Eso es derivar. Esta sola operación sencilla sostiene toda la cinemática de la partícula, y al revés, apilando de vuelta por integración, vuelve a rastrear el camino hasta la posición.
Primero, arrastra el tiempo t para mover la partícula. Al empujar el control, la partícula se desliza por la línea y su posición x en cada instante aparece abajo. Arranca despacio, cruza rápido por el medio y vuelve a frenar cerca del final. Las marcas, dejadas a intervalos de tiempo iguales, lo dejan claro de un vistazo: donde se amontonan se movió despacio, donde se separan se movió rápido. Por ahora, quédate con una sola cosa: fija el tiempo y la posición queda fija. Esta relación x(t) contiene el movimiento entero. Desde la próxima escena, indagamos qué tan rápido cambia esa posición.
Ahora despliega la posición como un gráfico contra el tiempo. El eje horizontal es el tiempo t, el vertical es la posición x. Arrastra el punto a lo largo de la curva con el tiempo y la recta tangente que lo toca también se mueve. La pendiente de esa tangente es la velocidad. v = dx/dt: cuánto cambia la posición cuando pasa apenas una rebanada de tiempo. Donde la curva es empinada, en el medio, la pendiente es grande, así que va rápido; cerca de los extremos planos la pendiente es casi cero, así que está prácticamente detenida. La velocidad no es la posición misma sino su tasa de cambio, no la altura sino lo empinado de la cuesta. Por eso algo puede estar lejos y a la vez en reposo en ese instante, y estar junto al inicio y a la vez yendo a toda marcha.
Haz exactamente lo mismo, un piso más arriba. Esta vez es la velocidad graficada contra el tiempo. Salvo que el eje vertical ahora marca la velocidad v, se ve igual que la escena anterior. Arrastra el punto con el tiempo, y la pendiente de la tangente es ahora la aceleración. a = dv/dt: qué tan rápido cambia la velocidad. Justo tras el arranque la velocidad sigue creciendo, así que la pendiente es positiva, eso es acelerar. En el instante en que la velocidad llega a su pico el gráfico es una cresta, así que la pendiente es cero, y en ese momento la aceleración también es cero. Después la velocidad baja, así que la pendiente es negativa, eso es frenar. Lo importante es que la operación es idéntica: derivar, tomar la tasa de cambio. Aplícala a la posición y obtienes la velocidad; aplícala a la velocidad y obtienes la aceleración.
Apila los tres gráficos y abárcalos de un vistazo. Arriba la posición x, en medio la velocidad v, abajo la aceleración a. Cambia el movimiento con los botones y observa cómo encajan las formas. Para velocidad constante la posición es una rampa recta, la velocidad es una línea horizontal plana y la aceleración es cero. Para aceleración constante la posición es una parábola curva, la velocidad es una recta que sube, y la aceleración es una horizontal constante. La regla es siempre la misma: la pendiente del gráfico de arriba es la altura del que está justo debajo. Donde la posición es empinada, la velocidad es alta; donde la velocidad es empinada, la aceleración es grande. Un escalón hacia abajo es una derivada, y esa cadena ata las tres filas en una.
Si la derivación corre en un sentido, deberíamos poder volver por el otro. Regresa al gráfico de velocidad y arrastra el tiempo t. La región bajo la curva, desde cero hasta ahora, se rellena de color. Esta área sombreada es la distancia recorrida hasta el momento, es decir, el cambio de posición. Como velocidad por tiempo es distancia, apilar la v de cada instante a lo largo del tiempo da el desplazamiento total como un área. Esto es la integración. Donde la derivación arrancaba una pendiente de la curva, la integración junta el área debajo de ella. Arrastra hasta el final y el área sumada coincide exactamente con la distancia del inicio al fin. Así, aun conociendo solo la aceleración, puedes apilarla en velocidad, y apilar la velocidad en posición. Derivación e integración son dos sentidos de la misma escalera.