Posición velocidad y aceleración
Una partícula se mueve a lo largo de una recta. Si la sigues en el tiempo, verás que cruza algunos tramos deprisa y otros tan despacio que casi se detiene, porque la distancia que recorre en 1 s no es la misma en todas partes. La magnitud que mide lo rápido que cambia la posición es la velocidad, y cuando la propia velocidad cambia de un instante a otro hace falta medir aparte lo rápido que cambia: eso es la aceleración. Pasar de la posición a la velocidad, o de la velocidad a la aceleración, es siempre el mismo paso, preguntar con qué rapidez cambia algo, y ese paso es la derivada. Recorrido al revés, acumulando cambios mediante la integral, permite volver de la aceleración a la velocidad y de la velocidad a la posición. Toda la cinemática de la partícula descansa sobre estas dos operaciones.
Mueve con el deslizador el tiempo t (segundos) y la partícula dorada avanza por la pista, con su posición actual x (metros) indicada encima de ella y en la lectura. Los círculos tenues marcan dónde estaba la partícula a intervalos de tiempo iguales: apretados en los extremos y separados en el centro. Donde se aprietan la partícula fue despacio y donde se separan fue deprisa, así que arranca despacio, va más rápido a mitad de camino y vuelve a frenar al final. Cada instante fija una única posición, y esa relación, x(t), contiene todo el movimiento. Las escenas siguientes indagan lo rápido que cambia esa posición.
Ahora despliega el mismo movimiento como una gráfica, con el tiempo t en el eje horizontal y la posición x en el vertical; la curva verde es el movimiento de la escena anterior. Al mover el tiempo con el deslizador, una tangente azul acompaña al punto de la curva. Su pendiente es la velocidad, v = dx/dt: cuánto cambia la posición en un intervalo de tiempo muy corto. En el centro, donde la curva es empinada, la pendiente es grande y la partícula va rápido; en los extremos planos la pendiente es casi 0 y está casi parada. La velocidad es la inclinación de la cuesta, no la altura de la curva, así que una partícula puede estar lejos de la salida y quieta en ese instante, o cerca de ella y moviéndose deprisa.
El mismo paso funciona un nivel más arriba. Esta gráfica pone la velocidad v en el eje vertical; la curva azul muestra cómo cambia la velocidad, y la pendiente de la tangente naranja en el punto es la aceleración, a = dv/dt: lo rápido que cambia la velocidad. Justo después de arrancar la velocidad está creciendo, así que la pendiente y la aceleración son positivas. En la cima de la curva la tangente queda horizontal, la pendiente es 0 y en ese instante la aceleración también es 0. Después la velocidad disminuye y la pendiente se vuelve negativa, es decir, hay desaceleración. Lo esencial es que al derivar la posición se obtiene la velocidad, y al derivar la velocidad de la misma manera se obtiene la aceleración.
Al apilar las tres gráficas la relación salta a la vista: arriba la posición x, en medio la velocidad v y abajo la aceleración a. Cambia el tipo de movimiento con los botones y compara cómo encajan las tres curvas. En el movimiento uniforme la posición es una cuesta recta, la velocidad una línea horizontal y la aceleración 0. En el uniformemente acelerado la posición es una parábola curva, la velocidad una recta que sube y la aceleración una línea horizontal; cuando la propia aceleración varía, las tres curvas se doblan. En todos los casos la pendiente de cada gráfica es la altura de la de abajo: donde la posición es empinada la velocidad es alta, y donde la velocidad es empinada la aceleración es grande.
Si la derivada lleva en un sentido, debería poder volverse en el otro. Regresa a la gráfica de velocidad y mueve el tiempo t con el deslizador: el área bajo la curva desde 0 hasta ahora se pinta de azul, y esa área es el desplazamiento hasta ese momento. Velocidad por tiempo es distancia, así que al acumular v, la velocidad de cada instante, a lo largo del tiempo, el área resultante es el desplazamiento total. Eso es la integral: si la derivada extraía una pendiente de la curva, la integral reúne el área que hay debajo. Si arrastras hasta el final, el área coincide exactamente con la distancia entre la salida y la llegada. Por eso acumular la aceleración devuelve la velocidad, y acumular la velocidad devuelve la posición.