El signo de la energía total elige la órbita
Para un satélite o un cometa, si su próximo camino es un círculo, una elipse o un camino abierto que nunca regresa lo decide un solo número: la energía total E = ½mv² − GMm/r. La energía cinética ½mv² de la rapidez es positiva; la energía potencial −GMm/r de la gravedad es negativa. Si su suma es negativa obtienes una elipse ligada, si es cero la parábola límite, si es positiva una hipérbola que escapa. Esta lección observa cómo la energía fija el destino de una órbita a través de cinco escenas: el pozo de energía, las secciones cónicas, la ecuación vis-viva, el potencial efectivo y un lanzamiento desde una superficie.
La energía potencial de la gravedad es U(r) = −GMm/r. Lejos se acerca a cero; cerca se hunde como un pozo profundo. Dibuja la energía total E como una línea horizontal y a cualquier distancia r la energía cinética es KE = E − U(r), la altura entre la línea y la curva. Arrastra el deslizador r para ver cómo se reparten la energía cinética y la potencial en ese punto, mostradas como barras. Donde la línea E baja por debajo de la curva, KE sería negativa, una región prohibida a la que el cuerpo no llega.
Ahora recorre la energía total E cruzando el cero. Un solo signo fija toda la clase de órbita. Si E < 0 la órbita es una elipse ligada y regresa; si E = 0 es la parábola límite; si E > 0 es una hipérbola abierta que nunca vuelve. Sube el deslizador y la trayectoria se despliega de elipse a parábola a hipérbola, con el nombre de la clase cambiando encima. El signo de la energía es el destino de la órbita.
Reescribe la misma energía total en el lenguaje de la rapidez y obtienes la ecuación vis-viva. En v² = μ(2/r − 1/a), μ = GM y a es el semieje mayor de la órbita. Usa los segmentos para elegir círculo (a = r), elipse (a fija) o escape (a → ∞), luego arrastra el deslizador r y lee la rapidez v como un punto en la curva. A la misma r la velocidad de escape es √2 veces la circular, visible de inmediato. Encaja con la intuición de Kepler de que un cuerpo va rápido cerca y lento lejos.
Cuando el momento angular L se conserva, el movimiento radial se lee de un único potencial efectivo Veff(r) = −GM/r + L²/(2r²). El primer término es el pozo gravitatorio atractivo; el segundo es una barrera centrífuga que crece con L e impide que el cuerpo se precipite al centro. Sube el deslizador L y la barrera crece mientras el fondo del pozo se desplaza hacia afuera. El mínimo del pozo es justo la órbita circular, y donde una línea de energía corta la curva están los dos puntos de retorno, el periapsis y el apoapsis de la órbita.
Ahora lanza directamente desde la superficie de un planeta. Dos deslizadores, rapidez y ángulo de lanzamiento, deciden el resultado. Por debajo de la rapidez circular el cuerpo cae en un arco suborbital; justo a la rapidez circular y en horizontal forma una órbita circular; más rápido, entre medias, despeja la superficie en una órbita elíptica. Supera la velocidad de escape y se marcha para siempre en una hipérbola. Mueve los deslizadores y la trayectoria se dibuja con su clase etiquetada.