Leyes de Kepler
Kepler pasó años ajustando los registros de las posiciones de Marte antes de abandonar el viejo círculo y llegar a la elipse. Sus tres leyes enlazan la forma de la órbita, la manera en que el planeta acelera y frena a lo largo de ella y el tiempo que tarda en dar una vuelta. La primera ley trata de la forma, la segunda del cambio de rapidez y la tercera del período.
La primera ley dice que la órbita es una elipse con el Sol en uno de sus dos focos. Al aumentar la excentricidad e desde 0, la órbita dorada deja de ser un círculo y se alarga hacia los lados; el Sol se queda en el foco derecho mientras el foco vacío se aleja hacia la izquierda. El punto verde más cercano al Sol es el perihelio, a r = a(1−e), y el punto naranja más lejano es el afelio, a r = a(1+e). El semieje mayor a está fijo en la figura, así que la lectura es directamente la distancia acortada o alargada por e.
La segunda ley dice que la recta que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La cuña dorada abarca siempre el mismo intervalo de tiempo; si la desplazas con el deslizador o pulsas Reproducir, el valor del área barrida no cambia, mientras que la longitud del arco, en azul, sí. Cerca del perihelio la cuña es corta y ancha y recorre un arco largo; cerca del afelio es larga y estrecha y el arco se acorta. La ley de las áreas es la conservación del momento angular expresada en términos de área.
La tercera ley dice que el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor. Si el período se mide en años y el semieje en unidades astronómicas, hasta la constante desaparece y queda T² = a³. Al mover a con el deslizador, el punto dorado recorre la curva gris y la lectura T²/a³ conserva el mismo valor en todas partes. El anillo verde marca la Tierra. Más allá de la Tierra la curva sube con fuerza, de modo que cuanto más lejos orbita un planeta, mucho más tarda en completar una vuelta.
Leída en términos de rapidez, la ley de las áreas dice que el planeta se mueve más deprisa cuanto más cerca está del Sol. La anomalía verdadera ν del deslizador es el ángulo del planeta medido desde el perihelio, y la longitud de la flecha azul es su rapidez en ese punto. La flecha es máxima en el perihelio y mínima en el afelio, y las dos rapideces están en la razón (1+e)/(1−e). En una órbita tan excéntrica como esta, la diferencia es de varias veces. La ecuación que une posición y rapidez en una sola línea, la ecuación vis-viva v² = μ(2/r − 1/a), llega en la próxima lección.
Por último, las tres leyes comparten una sola pantalla. Al pulsar Reproducir, el planeta recorre la elipse a la verdadera velocidad de Kepler y va apilando una cuña de igual área cada vez que pasa un mismo intervalo. Las cuñas cercanas al perihelio son cortas y anchas, y las cercanas al afelio, largas y estrechas, pero todas tienen la misma área. Por eso los porcentajes de tiempo y de área de abajo nunca discrepan. Aunque aceleres o frenes la reproducción, o devuelvas el planeta al perihelio con Reiniciar, los dos números se mueven juntos.