Transferencia de Hohmann

Antes de cambiar de órbita conviene saber qué tan rápido hay que ir para escapar del todo. Una órbita circular de radio r tiene velocidad v_circ = √(GM/r); si desde el punto blanco del círculo punteado se lanza más rápido, la órbita se estira en una elipse cada vez más larga hacia fuera. Justo al llegar a v_esc = √(2GM/r) la elipse ya no puede cerrarse y se abre en una parábola. Ese valor es la velocidad de escape, y entre ambas hay una relación sencilla: v_esc = √2 · v_circ. Al subir la velocidad con el deslizador, a √2 veces la velocidad circular la etiqueta de la trayectoria pasa a umbral de escape, y más allá hay una hipérbola.

Ahora construye tú mismo la elipse de transferencia. Basta con dibujar una elipse cuyo periapsis toque el círculo interior (radio r₁) y cuyo apoapsis toque el exterior (radio r₂); su semieje mayor es a = (r₁ + r₂) / 2, y la rapidez en cualquier punto de ella sale de la ecuación vis-viva v = √(GM(2/r − 1/a)). Lo que hay que añadir en el periapsis por encima de la rapidez circular es el Δv₁ del punto verde, y lo que hace falta en el apoapsis para igualar la órbita circular exterior es el Δv₂ del punto naranja. Al subir r₂ con el deslizador, la elipse dorada se redibuja tocando ambos círculos y los dos encendidos y su total cambian a la vez. Cuanto más lejos está el círculo exterior, más crece Δv₁, pero a partir de cierto punto Δv₂ incluso disminuye.

Entre los dos encendidos, la nave apaga el motor y simplemente se desliza. Tras aplicar una vez Δv₁ en el periapsis para entrar en la elipse, durante media vuelta no hace nada y avanza solo por inercia. Al pulsar Reproducir, el punto blanco recorre la elipse dorada y, tal como dicen las leyes de Kepler, va deprisa cerca del periapsis y se frena al acercarse al apoapsis. Los puntos verde y naranja crecen en el instante de cada encendido, y si se aplica Δv₂ justo al llegar al apoapsis, la nave queda asentada en el círculo exterior. La transferencia dura exactamente la mitad del período de esta elipse.

La suma de todos los encendidos es el presupuesto de Δv de la misión, y lo importante es que ese presupuesto se traduce directamente en propelente. El puente es la ecuación del cohete de Tsiolkovski, Δv = v_e · ln(m₀ / m_f), donde v_e es la velocidad de salida de los gases, m₀ la masa al partir y m_f la masa una vez gastado el propelente. La barra superior apila el presupuesto para el lanzamiento, la transferencia orbital y la captura, y la parte dorada de la barra inferior es la fracción de la masa inicial que corresponde al propelente. Por el logaritmo, la razón de masas necesaria crece exponencialmente con Δv; si bajas v_e con el deslizador, para el mismo presupuesto la fracción de propelente se acerca al final de la barra.

¿Es la transferencia de Hohmann siempre la más barata? Cuando la razón de radios r₂ / r₁ de los dos círculos es muy grande, otra ruta puede costar menos. La transferencia bielíptica sale mucho más allá del objetivo, regresa y enciende el motor tres veces. Alejarse tanto parece un derroche, pero muy arriba basta un cambio de velocidad pequeño para rehacer la órbita, así que el rodeo compensa. Alterna entre los dos métodos con los botones y aumenta la razón de radios con el deslizador: al pasar de aproximadamente 11,94, la marca de ventaja salta de Hohmann a bielíptica. La línea azul discontinua es un esbozo reducido del viaje hasta un apoapsis muy lejano.