Una transferencia de Hohmann cambia de órbita con dos encendidos
Supón que una nave en una órbita circular baja necesita llegar a una órbita circular más alta. En vez de quemar combustible sin parar y describir una espiral, la ruta más económica usa una sola elipse que apenas roza ambos círculos. Aceleras una vez por dentro para subir a la elipse, deslizas media vuelta y aceleras otra vez en el instante en que tocas el círculo exterior para asentarte en él. Dos encendidos, una órbita nueva: esto es la transferencia de Hohmann. Primero fijamos la velocidad de escape y luego construimos la elipse de transferencia a mano.
Antes de cambiar de órbita, cuán rápido hay que ir para marcharse del todo? La velocidad de una órbita circular de radio r es vcirc = √(GM/r). Sube la velocidad poco a poco y la órbita se estira en una elipse más larga, hasta que exactamente en vesc = √(2GM/r) la elipse se abre en una parábola. Ese valor es la velocidad de escape, y es precisamente vesc = √2 · vcirc. Arrastra el deslizador hacia arriba y observa cómo la órbita cerrada se abre en el instante en que alcanzas el múltiplo √2.
Ahora construye tú mismo la elipse de transferencia. Dibuja una sola elipse cuyo perigeo toque el círculo interior (radio r₁) y cuyo apogeo toque el círculo exterior (radio r₂). Su semieje mayor es a = (r₁ + r₂) / 2. La velocidad en cualquier punto sale de la ecuación de vis-viva v = √(GM(2/r − 1/a)). Cuánto más rápido que la velocidad circular debes ir en el perigeo es Δv₁; lo que hace falta para asentarse desde el apogeo en el círculo exterior es Δv₂. Sube r₂ y la elipse se redibuja mientras ambos encendidos se actualizan juntos.
Entre los dos encendidos la nave apaga el motor y simplemente navega por inercia. Un encendido de Δv₁ en el perigeo la sube a la elipse, y luego no hace nada durante media vuelta, deslizándose. Siguiendo a Kepler, va rápida cerca del perigeo y frena cerca del apogeo. En el instante en que llega al apogeo, un encendido de Δv₂ la asienta en el círculo exterior. Pulsa reproducir y observa los dos encendidos con el trayecto de medio periodo entre ellos.
Suma todos los encendidos y obtienes el presupuesto de Δv de la misión. El problema es que ese presupuesto se traduce directamente en combustible. El puente es la ecuación del cohete de Tsiolkovski Δv = ve · ln(m₀ / mf), donde ve es la velocidad a la que sale el escape, m₀ es la masa inicial y mf es la masa una vez gastado el propelente. Por el logaritmo, una pequeña subida de Δv dispara la razón de masas necesaria. Baja ve y observa con qué brusquedad sube la fracción de propelente para pagar el mismo presupuesto.
Es siempre mejor una transferencia de Hohmann? Cuando la razón de los dos radios r₂ / r₁ es muy grande, otra ruta puede ser más económica. Es la transferencia bielíptica: enciendes una vez hacia un punto muy por encima del objetivo, luego regresas, gastando tres encendidos en total. Ir tan lejos parece un derroche, pero allá arriba cuesta muy poco cambio de velocidad desplazar la órbita, y eso compensa. Pasada una razón de radios de unos 11.94, una bielíptica extrema le gana a Hohmann. Alterna entre los dos métodos y sube la razón para hallar dónde cambia el ganador.