수학Ⅱ›3단원 적분

정적분의 활용

Applications of Definite Integrals

두 곡선 사이의 넓이

📐 곡선 사이 넓이의 핵심

①두 함수 f(x), g(x) 사이의 넓이 = ∫|f(x) - g(x)| dx

②위에 있는 함수 - 아래에 있는 함수를 적분

③교점을 먼저 구해서 적분 구간을 결정!

하한 a-1.5

상한 b1.5

두 곡선 사이의 넓이

S = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx

위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 후 적분 (절댓값 주의!)

넓이 계산 전략

x축과 곡선 사이의 넓이

S = ∫_a^b |f(x)| dx

x축 아래 부분이 있으면 구간을 나누어 계산

y축과 곡선 사이의 넓이 (x = g(y))

S = ∫_c^d |g(y)| dy

x와 y의 역할을 바꾸어 y에 대해 적분하면 편리한 경우

💡 넓이 계산 순서

①교점 구하기: f(x) = g(x) 또는 f(x) = 0

②상하 관계 파악: 어떤 함수가 위에 있는지 판별

③구간 나누기: 상하 관계가 바뀌는 점에서 분할

④각 구간별 적분 → 합산

회전체의 부피

상한 b2

x축 둘레 회전체 부피 (원판법)

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

단면이 원 → 반지름 = f(x), 넓이 = π[f(x)]²

y축 둘레 회전체 부피

V = π ∫_c^d [g(y)]² dy

y축 회전 시, x = g(y)로 놓고 y에 대해 적분

🔑 회전체 부피 핵심

①"어떤 축 둘레로 회전하는가?"를 먼저 파악

②x축 회전: 반지름 = |f(x)|, 적분 변수 = x

③y축 회전: 반지름 = |g(y)|, 적분 변수 = y

속도와 거리

시각 t2 s

이동 거리

거리 = ∫_a^b |v(t)| dt

속도의 절댓값을 적분하면 실제 이동 거리

💡 변위 vs 거리

①변위(위치 변화) = ∫v(t)dt — 부호 포함 (음의 이동 상쇄)

②거리(실제 이동) = ∫|v(t)|dt — 항상 양수

③v(t) ≥ 0 구간에서는 변위 = 거리 (같음)

총정리

곡선 사이 넓이

∫|f - g| dx

교점으로 구간 분할

회전체 부피

π∫[f(x)]² dx

원판법

🎯 시험 포인트

①넓이 문제: 교점 → 상하 관계 → 구간별 적분 → 합산

②절댓값 처리: x축 위/아래 구간을 나누어 계산

③회전체: 어떤 축으로 회전하는지 + 반지름이 무엇인지 파악

④속도 → 거리: ∫|v(t)|dt (절댓값!), 변위: ∫v(t)dt

⑤y에 대한 적분: x = g(y)로 변환하면 더 쉬운 경우가 많다