수학Ⅰ›수열

등차수열

Arithmetic Sequence

등차수열이란 — 계단처럼 같은 간격

첫째항 a₁2

공차 d3

항의 수 n5

💡 등차수열 = 같은 간격으로 증가하는 수열

①이웃하는 두 항의 차가 항상 같다 (= 공차 d)

②계단의 높이가 일정한 것과 같은 원리

③d > 0이면 증가, d < 0이면 감소, d = 0이면 상수

일반항 공식

등차수열 일반항

a_n = a₁ + (n-1)d

n번째 항 = 첫째항 + (n-1) × 공차

📐 일반항의 의미

①a₁에서 시작하여 d를 (n-1)번 더한다

②직선 y = dx + (a₁ - d) 위의 자연수 점에 대응

③기울기가 d인 1차함수와 같은 형태

등차수열의 합 — 사다리꼴 넓이

등차수열의 합

S_n = n(a₁ + a_n)2

(첫째항 + 마지막항) × 항 수 / 2

공차로 표현

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

a_n 없이 첫째항과 공차만으로 합 계산

💡 가우스의 발견

①1 + 2 + ... + 100 = ?

②처음과 끝을 짝지으면: (1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050

③이것이 곧 n(a₁ + a_n)/2의 원리

등차중항

등차중항

b = a + c2

a, b, c가 등차수열 → b는 a와 c의 산술평균

📐 등차중항의 활용

①세 수 a, b, c가 등차수열 ⟺ 2b = a + c

②가운데 항 = 양쪽 항의 평균

③등차수열에서 등간격으로 뽑은 항도 등차수열

총정리

등차수열 핵심 공식

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

일반항과 합을 한 번에 정리

🎯 시험 포인트

①일반항: a_n = a₁ + (n-1)d

②합: S_n = n(a₁ + a_n)/2 = n(2a₁ + (n-1)d)/2

③등차중항: 2b = a + c

④S_n이 n에 대한 2차식 (d ≠ 0) 또는 1차식 (d = 0)

⑤a_n = S_n - S_{n-1} (n ≥ 2)로 일반항 역추적