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光学与波动

两条狭缝在屏幕上画出条纹

杨氏双缝在 d sinθ = mλ 处出现亮纹,屏上间距为 Δy = λL/d。这里以连续光强来看;单量子视角在量子力学 area。

让光通过两条狭窄的缝隙时,屏幕上会规则地出现明暗相间的条纹。因为从两条缝隙射出的波相遇,波峰与波峰对齐处变亮,波峰与波谷相遇处则变暗。当两条路径的长度差为波长的整数倍时,即 d sinθ = mλ 处,就是一条亮纹,而屏幕上的条纹间距由 Δy = λL/d 决定。本讲把光看作连续的波,采用经典的视角。至于单个光子如何一个一个地仍然叠出同样的图样,请见量子力学领域的 qm-wave-particle 一讲。

把两缝之间的间距 d 加大,条纹就会变密。因为条纹间距为 Δy = λL/d,d 越大分母越大,间距就越小。可见光的波长非常短,要把条纹展宽到肉眼可见,就必须把缝间距 d 做得小于一毫米。拖动滑块增大 d,观察屏幕上的亮带彼此靠拢,同时 Δy 的数值也随之减小。

这次改变波长 λ。因为在 λL/d 中 λ 位于分子,波长越长间距越宽。所以红光的条纹拉得很开,而蓝光的条纹挤得很密。若使用白光,中央的条纹因所有颜色重叠在同一处而显白,而两侧的条纹则因每种颜色落点不同而像彩虹一样散开。拖动滑块改变颜色,看看同一套装置对不同波长会给出不同的条纹宽度。

把屏幕移得更远,增大 L,整个图样就会变大。在 Δy = λL/d 中距离 L 位于分子,所以距离越远条纹间距就按比例展宽。角度不变,但同一个角走得越远就张开成越大的间距。不过,增大 L 虽然使图样展宽,却也使它变暗,因为同样的光被摊到了更大的面积上。拖动滑块增大 L,观察图样被放大。

沿屏幕上下拖动探针。在每个位置,它都会算出到两条缝的路径长度差 d sinθ。当这个差恰好等于波长的整数倍 mλ 时,该处就是一条亮纹;若是半整数倍则为暗纹。在路径差相差半个波长即 (m+½)λ 的位置,一个波的波峰与另一个波的波谷重叠而相互抵消,于是形成暗纹。移动探针,找出级数 m 变为 0、1、2 的位置,并检查这些位置是否正好落在亮带上。

切换到单缝,就只剩下一个宽阔平滑的亮度隆起。这就是一条宽单缝独自形成的衍射图样。再切回双缝,那个隆起的内部就被刻画成细密的干涉条纹。也就是说,双缝条纹是在单缝所设定的包络线之内起舞。单条缝越窄,衍射隆起就展得越宽,里面也就容纳更多的干涉条纹。这条包络线的故事将延续到下一讲的衍射。

实际应用在双缝干涉中,亮纹条件为 d sinθ = mλ,屏幕上的间距为 Δy = λL/d。加大缝间距 d 会使图样变密,而增大波长 λ 或屏幕距离 L 则会使它展宽。真实的双缝图样被约束在单缝的衍射包络之内,而这条包络正是下一讲衍射的主题。
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