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光学与波动

光在缝隙与边缘处弯曲扩散

单缝形成在 a sinθ = mλ 处变暗的 sinc² 强度,光栅则由多缝叠加出尖锐极大。用惠更斯子波之和来理解。

光通过狭缝或锐利的边缘时不会直行,而是弯曲并扩散。单缝的强度图样是一条 sinc² 曲线,但这里它是光的经典强度,而不是量子轨道里的概率密度。多缝排列成的衍射光栅和惠更斯的子波图像,相比量子轨道是全新的内容。

光通过宽为 a 的单缝时,屏上出现明亮的中央峰及其两侧的暗极小。极小出现在 a·sinθ = mλ 处,强度呈 sinc² 形状。缝越窄,衍射扩散得越宽。由于第一个极小位于 sinθ = λ/a,扩散由波长与缝宽之比 λ/a 决定,一旦缝窄到约一个波长,光就几乎散成半圆。

惠更斯说,波前上的每一点都是新子波的波源。把缝内众多波源发出的子波按每个方向叠加,它们相互增强与抵消,形成衍射图样。波源排得越密,它们的和越接近平滑的 sinc² 包络。正前方所有子波都以相同相位到达而完全叠加,越往两侧相位逐渐错开而相互抵消,因此中央最亮。

把许多缝按规则间距排列就是衍射光栅。缝数 N 越大,主极大位置不变,却越来越尖锐明亮。它们的位置由相邻缝间距 d 决定,为 d·sinθ = mλ。缝越多,峰之间的光抵消得越彻底,峰宽便按 1/N 变窄,因此光谱仪刻上数千条线来把波长分得更细。

在同一光栅上,不同波长 λ 会衍射到不同角度。由 d·sinθ = mλ 可知,λ 越长角度越大,于是多种颜色像扇子一样散开。这样按波长分开光正是分光的核心。当 mλ 超过 d 时,该级次无法出现。CD 或 DVD 表面泛出彩虹光泽,也是因为细密的沟槽充当光栅,把白光按波长分开。

现在自己在图样上拖动探针。读出每处的角度 θ,用 a·sinθ = mλ 中的整数 m 判断你处在第几个极小。中央强度最大,每个整数 m 处规则地排着一个暗极小。在暗极小之间坐落着逐渐变弱的次级峰,这就是 sinc² 曲线的旁瓣,比中央峰弱得多。

实际应用单缝衍射在 a·sinθ = mλ 处变暗,强度呈 sinc²。缝越窄扩散越宽。多缝光栅在 d·sinθ = mλ 处变亮,缝越多这些极大越尖锐。波长不同则角度不同,光便分成颜色,这就是分光的原理。
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